K-means hashing: An affinity-preserving quantization method for learning binary compact codes论文理解

用KMH(k-means hashing)学习二值编码论文 理解

本篇论文[1]是微软研究院的何凯明等人提出，何凯明在微软2015年一年参与发表5篇CVPR，还有好多其他高质量论文，这篇论文是其2013年CVPR上发表的一篇。下面进入正题。

一、问题提出

ANN检索方法中，向量量化和乘积量化方法是基于查找表的，查找表是放在内存中的。基于hamming距离的方法检索速度快，1.5ms内可以扫描完1百万64bit的hamming码，但是检索结果又没有基于查找表的好。如何才能兼容并蓄、博采众长呢？何凯明等人想到了一种结合上述两类方法优点的做法，思想很直白，且其要优化的目标函数式形式非常简单。

二、思想和原理

1.思想：

将乘积量化过程作为构建索引的第一步，用样本量化后的类中心距离代表样本之间的距离；将hamming hash表的编码过程作为第二步，用hamming码来表示前一步样本量化后的类中心；中间用个最优化函数联系起来，保证目标函数的误差达到最小。最后采用hamming码来表示类中心。用数学式表达目标函数就是：

优化目标式(1)就是要优化(2)式和(3)式，优化(2)式采用k-means方法，优化(3)采用ITQ方法学习一个正交变换，使得，其中V是二进制超立方体的顶点坐标矩阵，C是乘积量化后的类中心坐标矩阵，R就是要学习的正交矩阵。

2.原理推导

主要推导下如何优化目标式(3)。
当 λ→∞ 时，优化(1)等价于使(3)为0，即 d(Ci(x),Ci(y))和dh(i(x),i(y)) 是完全相同的， dh(⋅,⋅) 是hamming 空间中超立方体的两个顶点之间的距离，超立方体的一个简单例子如下：

超立方体中两点之间的距离不是把两点用直线连起来，而是像蚂蚁从一个顶点爬到另一个顶点要走的最短距离。这时，论文作者说在误差为零时，任何一个类中心映射到hamming空间中后必定是要在超立方体的一个顶点上。至于这种映射关系是有多少种?假如hamming码长为b，那么超立方体的定点数就是 2b 个，那么一一映射的话，就共有 (2b)! 个。非一一映射的情况是采用较长的码来编码较少数目的类中心，这有助于区别类中心之间的距离，相似类中心之间距离应该尽可能小，差别很大的类中心之间的距离应该足够大，这正是论文中对hashing技术的理解。

在这种 λ→∞ 情况下，必定存在一个解使(3)式达到最小值，大胆推广到其他情况下，那么用数学公式来表示这种一一映射关系就是：

写成矩阵形式就是 V=CR ，要求 R 是正交矩阵，因为正交矩阵有一系列好的性质，它可以保持向量模长不变，可以保持各个编码的bit位相互独立（在实现ITQ时先进行PCA投影使得各个维度不相关了），旋转矩阵就是正交矩阵的一种特例。由于可以保持向量模长不变，那么KMH方法就具有了Affinity-Preserving特性。

公式(4)中的 1/2 是由于 c⋅rt 就是c向基 rt 方向做投影，得到投影长度为 12s ，再加上方向，前面加个正负号。 s 是超立方体任何两个顶点之间的距离，之所以不是1而是个变量 s ，好处是可以在欧氏距离和hamming距离之间建立一个等式，因为欧氏距离变化范围可以很大，而hamming距离是不同二进制位的个数，最大为b，最小为0。 Equan 是 s 的二次函数，在优化 Equan 时可以求出 s 。

求一个正交变换R，使得 V=CR ，这个问题是一个Orthogonal Procrustes problem，可以参考论文[2]，本篇论文中解决方法是使用ITQ迭代算法，可以参考博客http://blog.csdn.net/chieryu/article/details/50421556。
总之，k-means hashing方法在样本 x,y 之间距离 d(x,y) 和hamming码 i和j 之间的距离 dh(i,j) 建立联系，中间是两个近似过程和一个定义过程。数学表达如下：

hamming码i和j之间的距离就i xor j，再统计其中bit为1的个数。

三、推广到乘积空间

由于hamming编码的码书计算和存放需要空间，而且b个bit的hamming码最多只能表示 2b 个码字，于是采用论文[3]中的做法，将k-means hashing的方法推广到乘积量化空间。
证明主要过程如下：

跟(5)式相同。

四、最优化函数的求导

参考文献：
[1]He K, Wen F, Sun J. K-means hashing: An affinity-preserving quantization method for learning binary compact codes[C]//Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), 2013 IEEE Conference on. IEEE, 2013: 2938-2945.
[2]Schönemann P H. A generalized solution of the orthogonal Procrustes problem[J]. Psychometrika, 1966, 31(1): 1-10.
[3]Jegou H, Douze M, Schmid C. Product quantization for nearest neighbor search[J]. Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on, 2011, 33(1): 117-128.