浅谈Delaunay三角剖分

在3D建模中，通常得到一系列散乱的点集，该点集描述了物体外表面的几何特征和构造。为了用三角网格进行描述物体表面，沃恩则需要对其进行三角剖分。

二维Delaunay三角剖分：

Delaunay边：e是E中满足以下条件的边：存在一个圆经过其端点a b，圆内不包含点集V中的其他任何点。

Deluanay三角剖分：如果V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分为Deluanay剖分。

Deluanay 三角剖分的特性：

（1）最大化三角剖分T中所有三角形的最小角，以避免出现过于扁平的三角形。

（2）三角剖分T的任何一个三角形的外接圆满足空圆性质：该圆内不包含任何其他点。（局部优化处理）

（3）四边形对应的剖分对角线两边的角度之和小于或者等于180，则该剖分满足Delaunay特性。

对于任意四边形，都可通过修改对角线的方法来得到Delaunay三角剖分。

算法描述：

输入：平面有限点集

输出：Delaunay三角剖分T

构建散点集V的任意一个三角剖分T

T中所有不满足空圆特性的内部边都压入栈并且做标记。

while 栈非空 do

begin

pq=pop()

去掉pq标记。

if pq不符合空圆特性 then

begin

用所在四边形的另一条对角线代替他，并将四边形的4条边中未标记的边压入栈。

end

end

return T

另一种方法：随机增量算法

该方法首先用一个足够大的三角形围住一堆随机排列的散列点，然后依次从点集中插入新点，不断更新当前的三角剖分，直至所有点插入完毕。

三维Delaunay三角剖分：

常用方法是，先在二维平面上对其进行三角剖分，然后加上高度数据，来得到三维三角形剖分。在各个方法存在投影变形。

有一个适用于平面和空间三角剖分的算法，该算法的实质上是不断往点集中添加新顶点，然后通过Delaunay空洞的特性构造新的剖分。

Delaunay空洞：在Delaunay三角剖分T中添加一个新顶点P，删除所有外接圆包含P的三角形，形成一个新的三角形集合B，则B成为Delaunay空洞。