无线通信原理笔记3

MIMO系统

前面已经看到，使用多个接收天线进行最大比合并可以获得最大的接收信噪比，也就是通过分集提高系统的可靠性。

进一步，在发端也使用多个天线，可以构成多输入多输出系统（MIMO），它可以在空间维度上并行传输多个信息流，从而大大提高系统的传输速率——空间复用（Spatial Multiplexing）。

假设MIMO系统的发端有t个天线，收端有r个天线，在t个发射天线上发送的符号为\(\mathbf{x}=[x_1 x_2 \cdots x_t]^T\)，r个接收天线上接收的信号为\(\mathbf{y}=[y_1 y_2 \cdots y_r]^T\)，收发天线之间的无线信道则可以建模为

$$\mathbf{H}=[h_{ij}]_{r\times t}=\begin{bmatrix} h_{11}& h_{12} & \cdots & h_{1t}\\  h_{21}& h_{22} & \cdots & h_{2t}\\  \vdots& \vdots &  &\vdots \\  h_{r1}& h_{r2} & \cdots & h_{rt} \end{bmatrix}$$

其中\(h_{ij}\)是第\(j\)根发射天线与第\(i\)根接收天线之间的信道增益系数。

由此，MIMO系统可以建模为

$$\mathbf{y}=\mathbf{H}\mathbf{x}+\mathbf{w}$$

其中\(\mathbf{w}=[w_1 w_2 \cdots w_r]^T\)是r个接收天线上收到的噪声信号，每个元素均可建模为相互独立同分布（iid）的随机变量，且服从零均值的高斯分布，即\(w_i \sim N(0,\sigma^2)\)，且

$$E\{w_iw_j^*\}=\left\{ \begin{matrix} \sigma^2, & \operatorname{if} i=j \\ 0, & \operatorname{else} \end{matrix}\right.$$

考察\(\mathbf{w}\)的协方差矩阵，得到

$$\begin{aligned} E\{\mathbf{w}\mathbf{w}^H\}=E\left\{ \begin{bmatrix} |w_1|^2 & w_1w_2^* & \cdots & w_1w_r^*  \\ w_2w_1^* & |w_2|^2 & \cdots & w_2w_r^* \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ w_rw_1^* & w_rw_2^* & \cdots & |w_r|^2 \end{bmatrix}\right\}=\begin{bmatrix} E\{|w_1|^2\}&0&\cdots& 0 \\ 0& E\{|w_2|^2\} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0& \cdots & E\{|w_r|^2\}\end{bmatrix} &=\sigma^2\mathbf{I}_r\end{aligned}$$

MIMO接收机

假设t发r收的MIMO系统的系统模型为

$$\mathbf{y}=\mathbf{H}\mathbf{x}+\mathbf{w}$$

那么，如何才能从接收向量\(\mathbf{y}\)中恢复发送向量\(\mathbf{x}\)呢？我们来讨论MIMO系统的最佳接收机——Zero Forcing（ZF）接收机。

当接收天线数与发送天线数相同，即\(r=t\)时，信道矩阵\(\mathbf{H}\)是方阵。更进一步，如果其逆矩阵存在，记为\(\mathbf{H}^{-1}\)，我们可以使用信道矩阵的逆矩阵来处理接收向量，进而得到发送向量的估计，即

$$\hat{\mathbf{x}}=\mathbf{H}^{-1}\mathbf{y}$$

然而，很多情况下，收发天线不相同，信道矩阵的逆矩阵也就不存在，怎么办？

考虑一种特殊情况，假设接收天线比发送天线多，即\(r>t\)，此时系统模型中等式的个数（等于接收天线数）比未知数的个数（等于发送天线数）多，因此方程组不一定有解，即不一定存在一组x使得所有的等式都满足。但是，我们可以得到一组近似的解，尽量满足所有的约束。

定义一个误差向量\(\mathbf{e}=\mathbf{y}-\mathbf{H}\mathbf{x}\)，它表示用我们估计的发送向量与信道的乘积与接收向量之间的差别，我们选取估计的发送向量，使得这个误差的功率最小，此时的估计量就是最优的。这一优化问题可以描述为

$$\hat{\mathbf{x}}=\operatorname{argmin}{\left\| \mathbf{y}-\mathbf{Hx} \right\|^2}$$

其中，目标函数定义为

$$\begin{aligned} F(\mathbf{x})&=\left\| \mathbf{y}-\mathbf{Hx} \right\|^2 \\ &=(\mathbf{y}-\mathbf{Hx})^T(\mathbf{y}-\mathbf{Hx}) \\ &=\mathbf{y}^T\mathbf{y}-\mathbf{x}^T\mathbf{H}^H\mathbf{y}-\mathbf{y}^T\mathbf{H}\mathbf{x}+\mathbf{x}^T\mathbf{H}^T\mathbf{H}\mathbf{x} \end{aligned}$$

对于功率值来说，\(\mathbf{x}^T\mathbf{H}^H\mathbf{y}=\mathbf{y}^T\mathbf{H}\mathbf{x}\)，因此

$$F(\mathbf{x})=\mathbf{y}^T\mathbf{y}-2\mathbf{x}^T\mathbf{H}^T\mathbf{y}+\mathbf{x}^T\mathbf{H}^T\mathbf{H}\mathbf{x}$$

上述估计方法称为最小二乘估计（Least Square, LS）。

求解上式的方法需要对目标函数求导，并置导数为零后求解最优的估计量，即求解

$$\frac{\partial F(\mathbf{x})}{\partial x}=0$$

再具体求解之前，我们先复习向量求导的几个结论。

对于n维向量\(\mathbf{c}\)和\(\mathbf{x}\)来说，当\(F(\mathbf{x})=\mathbf{c}^T\mathbf{x}=c_1x_1+c_1x_1+\cdots+c_nx_n\)时，

$$\begin{aligned} \frac{\partial F(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}&= \left[\frac{\partial F(\mathbf{x})}{\partial x_1},\frac{\partial F(\mathbf{x})}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial F(\mathbf{x})}{\partial x_n} \right]^T \\ &=[c_1,c_2,\cdots,c_n]^T =\mathbf{c} \end{aligned}$$

当\(F(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T\mathbf{c}=x_1c_1+x_1c_1+\cdots+x_nc_n\)时，

$$\frac{\partial F(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}=\mathbf{c}$$

因此，得到如下结论

$$\frac{\partial \mathbf{c}^T\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial \mathbf{x}^T\mathbf{c}}{\partial \mathbf{x}}=\mathbf{c}$$

除此之外，考虑二次函数的形式，即\(F(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T\mathbf{P}\mathbf{x}\)，且满足\(\mathbf{P}=\mathbf{P}^T\)则

$$\begin{aligned} \frac{\partial (\mathbf{x}^T\mathbf{P}\mathbf{x})}{\partial\mathbf{x}}&=\mathbf{Px}+(\mathbf{x}^T\mathbf{P})^T  \\ &=2\mathbf{Px} \end{aligned}$$

下面来求解上述目标函数\(F(\mathbf{x})=0\)的解

$$\frac{\partial F(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}=0-2\mathbf{H}^T\mathbf{y}+2\mathbf{H}^T\mathbf{Hx}=0 $$

因此，最优估计量为

$$\hat{\mathbf{x}}=(\mathbf{H}^T\mathbf{H})^{-1}\mathbf{H}^T\mathbf{y}$$

当我们拓展到复数向量时，转置操作就变成了共轭转置，即

$$\hat{\mathbf{x}}=(\mathbf{H}^H\mathbf{H})^{-1}\mathbf{H}^H\mathbf{y}$$

由于

$$(\mathbf{H}^H\mathbf{H})^{-1}\mathbf{H}^H\mathbf{H}=\mathbf{I}$$

所以，\((\mathbf{H}^H\mathbf{H})^{-1}\mathbf{H}^H\)称为\(H\)的“伪逆”。

由此可知，MIMO系统的最佳接收机（ZF接收机）使用信道矩阵的伪逆来获得发射向量的估计，这一估计量在最小二乘（LS）意义下是最优的。

发射端波束赋形（Beamforming）

我们在SIMO系统中（单发多收）使用最大比合并获得最大的接收信噪比，这实际上是使接收天线阵列的接收方向“对准”发送天线，本质上是一种接收端的波束赋形。类似的，在发送端也可以使用波束赋形将发送的波束“对准”某个方向，这个最优的方向是什么呢？

考虑一个具有2个发射天线和1个接收天线的MISO系统（多发单收）。接收到的信号可以表示为

$$\mathbf{y}=[h_1 h_2]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}+w$$

其中\(h_1\)和\(h_2\)是两个发射天线到接收天线之间的信道系数，\(\mathbf{x}=[x_1, x_2]^T\)是两个发射天线上的“发送向量”,\(w\)是高斯白噪声信号，服从均值为零，方差为\(\sigma^2\)的复高斯分布。

若数据符号\(x\)按如下方式映射到每个天线上

$$\mathbf{x}=\frac{1}{\left\|\mathbf{h}\right\|}\begin{bmatrix} h_1^*\\h_2^* \end{bmatrix}x$$

其中\(\left\|\mathbf{h}\right\|=\sqrt{h_1^2+h_2^2}\)，则向量

$$\left[ \frac{h_1^*}{\left\|\mathbf{h}\right\|}, \frac{h_2^*}{\left\|\mathbf{h}\right\|} \right]^T$$就是归一化的发射波束赋形矢量。将上述发射矢量\(x\)代入系统模型中，接收信号为

$$\begin{aligned} \mathbf{y}&= [h_1 h_2]\begin{bmatrix} \frac{h_1^*}{\left\|\mathbf{h}\right\|}x \\ \frac{h_2^*}{\left\|\mathbf{h}\right\|}x \end{bmatrix}+w \\ &=\frac{|h_1|^2}{\left\|\mathbf{h}\right\|}+\frac{|h_2|^2}{\left\|\mathbf{h}\right\|}+w \\ &=\left\|\mathbf{h}\right\|x+w \end{aligned}$$

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