空间解析几何

解析几何是用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支。通俗讲就是通过建立坐标系来用方程描述几何图形。
在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。而它的出现使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。
在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

1.二维空间

1.1平面直线

直线的方程表示：
一般式: Ax+By+C=0(A、B不同时为0，适用于所有直线）。
点(x0,y0)到直线的距离： d=|Ax0+By0+C|A2+B2√

斜截式:y=kx+b（适用于不垂直于x轴的直线）。

点到直线距离

dist(point,line)=|Ax+by+C|A2+B2−−−−−−−√

2.三维空间

2.1空间平面

Ax+By+Cz+D=0
n⃗ =(A,B,C) 为平面的法向量.

点到平面距离:

dist(point,plane)=|Ax+by+Cz+D|A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√

2.2空间直线

显然，由两个空间平面相交得到。
一般式方程

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

对称式方程

x−x0l=y−y0m=z−z0n

, s⃗ ={l,m,n} 为直线的方向向量.

• 例题
  Q:已知两直线的方向向量分别为 s⃗ 1={0,1,1},s⃗ 2={1,2,1} ,求同时垂直于这两条直线的向量 n⃗  .
  A:
  n⃗ =s⃗ 1×s⃗ 2=∣∣∣∣∣i⃗ 01j⃗ 12k⃗ 11∣∣∣∣∣={−1,1,−1}

3.高维推广

3.1 超平面

wTx+b=0

点到平面距离

dist=|wTx|||w||