[网络流24题]方格取数 最大点权独立集

题目链接

大牛思路:

【问题分析】

二分图点权最大独立集，转化为最小割模型，从而用最大流解决。

【建模方法】

首先把棋盘黑白染色，使相邻格子颜色不同，所有黑色格子看做二分图X集合中顶点，白色格子看做Y集合顶点，建立附加源S汇T。

1、从S向X集合中每个顶点连接一条容量为格子中数值的有向边。
2、从Y集合中每个顶点向T连接一条容量为格子中数值的有向边。
3、相邻黑白格子Xi,Yj之间从Xi向Yj连接一条容量为无穷大的有向边。

求出网络最大流，要求的结果就是所有格子中数值之和减去最大流量。

【建模分析】

这是一个二分图最大点权独立集问题，就是找出图中一些点，使得这些点之间没有边相连，这些点的权值之和最大。独立集与覆盖集是互补的，求最大点权独立集可以转化为求最小点权覆盖集（最小点权支配集）。最小点权覆盖集问题可以转化为最小割问题解决。结论:最大点权独立集 = 所有点权 - 最小点权覆盖集 = 所有点权 - 最小割集 = 所有点权 - 网络最大流。

对于一个网络，除去冗余点（不存在一条ST路径经过的点），每个顶点都在一个从S到T的路径上。割的性质就是不存在从S到T的路径，简单割可以认为割边关联的非ST节点为割点，而在二分图网络流模型中每个点必关联到一个割点（否则一定还有增广路，当前割不成立），所以一个割集对应了一个覆盖集（支配集）。最小点权覆盖集就是最小简单割，求最小简单割的建模方法就是把XY集合之间的变容量设为无穷大，此时的最小割就是最小简单割了。

有关二分图最大点权独立集问题，更多讨论见《最小割模型在信息学竞赛中的应用》作者胡伯涛。

#include

#define MAXN 1010
#define MAXM 10000100
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100005;

int mm[1005][1005];
int n,m;
int dir[4][2] =  { {1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1} };
int col[1005][1005];


struct Edge
{
    int from, to, cap, flow, next;
};
Edge edge[MAXM];
int head[MAXN], cur[MAXN], edgenum;
int dist[MAXN];
bool vis[MAXN];
int N, M,ss,tt;
void init()
{
    edgenum = 0;
    memset(head, -1, sizeof(head));
}
void addEdge(int u, int v, int w)
{
    Edge E1 = {u, v, w, 0, head[u]};
    edge[edgenum] = E1;
    head[u] = edgenum++;
    Edge E2 = {v, u, 0, 0, head[v]};
    edge[edgenum] = E2;
    head[v] = edgenum++;
}

bool BFS(int s, int t)
{
    queue<int> Q;
    memset(dist, -1, sizeof(dist));
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    dist[s] = 0;
    vis[s] = true;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty())
    {
        int u = Q.front();
        Q.pop();
        for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
        {
            Edge E = edge[i];
            if(!vis[E.to] && E.cap > E.flow)
            {
                dist[E.to] = dist[u] + 1;
                if(E.to == t) return true;
                vis[E.to] = true;
                Q.push(E.to);
            }
        }
    }
    return false;
}
int DFS(int x, int a, int t)
{
    if(x == t || a == 0) return a;
    int flow = 0, f;
    for(int &i = cur[x]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        Edge &E = edge[i];
        if(dist[E.to] == dist[x] + 1 && (f = DFS(E.to, min(a, E.cap - E.flow), t)) > 0)
        {
            edge[i].flow += f;
            edge[i^1].flow -= f;
            flow += f;
            a -= f;
            if(a == 0) break;
        }
    }
    return flow;
}
int Maxflow(int s, int t)
{
    int flow = 0;
    while(BFS(s, t))
    {
        memcpy(cur, head, sizeof(head));
        flow += DFS(s, INF, t);
    }
    return flow;
}











void dfs(int x,int y,int cl)
{
    col[x][y]=cl;
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        int xx = x+dir[i][0];
        int yy = y+dir[i][1];
        if(xx<1 || xx>n||yy<1||yy>m||col[xx][yy]) continue;
        if(cl==1)
            dfs(xx,yy,2);
        else
            dfs(xx,yy,1);
    }
}

int getnum(int x,int y)
{
    return (x-1)*m+y;
}
int main()
{
//    freopen("data.txt","r",stdin);
//    ios_base::sync_with_stdio(false);
//    int T;
//    scanf("%d",&T);
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        int ans  = 0;
        memset(col,0,sizeof(col));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                scanf("%d",&mm[i][j]);
                ans+=mm[i][j];
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                if(!col[i][j])
                {
                    dfs(i,j,1);
                }
            }
        }
//        for(int i=1;i<=n;i++)
//        {
//            for(int j=1;j<=m;j++)
//            {
//                cout << col[i][j]<<" ";
//            }
//            cout <
//        }
        init();
        ss = 0;
        tt = n*m+1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                if(col[i][j]==1)
                {
                    addEdge(ss,getnum(i,j),mm[i][j]);
                    for(int d=0;d<4;d++)
                    {
                        int xx = i+dir[d][0];
                        int yy = j+dir[d][1];
                        if(xx<1 || xx>n || yy<1 || yy>m ||col[xx][yy]==1) continue;
                        addEdge(getnum(i,j),getnum(xx,yy),INF);
                    }
                }
                else
                {
                    addEdge(getnum(i,j),tt,mm[i][j]);
                }

            }
        }
        printf("%d\n",ans-Maxflow(ss,tt));

    }
    return 0;
}