【jzoj1938】【2011集训队出题】【Crash的数字表格】【莫比乌斯反演】

题目大意

Ans=∑Nx=1∑My=1Lcm(x,y)

解题思路

Ans=∑Nx=1∑My=1Lcm(x,y)

=∑Nx=1∑My=1xy/Gcd(x,y)

=∑Nd=11/d∑Nx=1∑My=1xy[Gcd(x,y)==d] 默认N<=M

g[d]=∑Nx=1∑My=1xy[Gcd(x,y)==d]

f[d]=∑Nx=1∑My=1xy[d|Gcd(x,y)]=d2(1+⌊N/d⌋)⌊N/d⌋(1+⌊M/d⌋)⌊M/d⌋/4=∑⌊N/d⌋i=1g[di]

根据莫比乌斯反演

g[d]=∑⌊N/d⌋i=1f[di]mu(i)

=∑⌊N/d⌋i=1d2i2(1+⌊N/di⌋)⌊N/di⌋(1+⌊M/di⌋)⌊M/di⌋/4mu(i)

Ans=∑Nd=11/d∑⌊N/d⌋i=1d2i2(1+⌊N/di⌋)⌊N/di⌋(1+⌊M/di⌋)⌊M/di⌋/4mu(i)

令T=id

=∑NT=1T(1+⌊N/T⌋)⌊N/T⌋(1+⌊M/T⌋)⌊M/T⌋/4∑i|Tmu(i)i

由莫比乌斯函数性质得 h[i]=∑i|Tmu(i)i 是积性函数， h[x]=∑pi1−pi 可以用线筛求。

对于前一部分可以分块求，对于后一部分可以前缀和求。

前面的T其实可以放进后面求。

code

#include
#include
#include
#include
#define LF double
#define LL long long
#define Min(a,b) ((a
#define Max(a,b) ((a>b)?a:b)
#define Fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define Fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
using namespace std;
int const Mxn=1e7,Mo=20101009;
int N,M,F[Mxn+9],Pri[Mxn+9];
int main(){
    freopen("d.in","r",stdin);
    freopen("d.out","w ",stdout);
    scanf("%d%d",&N,&M);
    if(N>M)swap(N,M);
    F[1]=1;
    Fo(i,2,N){
        if(!F[i])Pri[++Pri[0]]=i,F[i]=1-i;
        Fo(j,1,Pri[0]){
            if(i*Pri[j]>N)break;
            if(i%Pri[j]==0){F[i*Pri[j]]=F[i];break;}
            else F[i*Pri[j]]=F[i]*(1-Pri[j]);
        }
        F[i]=(1ll*F[i]*i+F[i-1])%Mo;
    }
    int Ans=0;
    for(int i=1,j,Ni,Mi;i<=N;i=j+1){
        Ni=N/i;Mi=M/i;
        j=Min(N/(Ni),M/(Mi));
        Ans=(Ans+((1ll+Ni)*Ni/2%Mo)*((1ll+Mi)*Mi/2%Mo)%Mo
            %Mo*(F[j]-F[i-1])%Mo)%Mo;
    }
    printf("%d",(Ans+Mo)%Mo);
    return 0;
}