矩阵乘法的动态规划解法

用动态规划法找出矩阵连乘积的最优计算次序。

1，  设矩阵连乘积A_iA_i+1…A_j简记为A[i:j]，设最优计算次序在A_k和A_k+1之间断开，则加括号方式为：

（（A_iA_i+1…A_k）（A_k+1…A_j））

则依照这个次序，先计算A[i:k]和A[K+1:j]然后再将计算结果相乘，计算量是：

A[i:k]的计算量加上A[K+1:j]的计算量再加上它们相乘的计算量。

问题的一个关键是：计算A[i:j]的最优次序所包含的两个子过程（计算A[i:k]和A[K+1:j]）也是最优次序。

2，  设计算A[i:j]所需的最少数乘次数为m[i][j]。

i=j时为单一矩阵，则m[i][i]=0，

i时，设最优计算次序在A_k和A_k+1之间断开，则m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p_ip_k+1p_j+1，其中p表示数组的维数，例如A₀到A₅共6个数组（为了C语言的描述方便，下标从0开始），他们表示如下：

//p[0]:第一个矩阵的行数

    //p[1]:第一个矩阵的列数，第二个矩阵的行数

    //p[2]:第二个矩阵的列数，第三个矩阵的行数

k此时并未确定，需要从i到j-1遍历以寻找一个最小的m[i][j]。我们把这个最小的k放在s[i][j]。

 

以下是完整实现代码，以一个具体的例子实现，稍加修改即可通用。

#include 
using namespace std;
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//MatrixChain计算m[i][j]所需的最少数乘次数
//并记录断开位置s[i][j]
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
void MatrixChain(int *p,int n,int **m,int **s)
{
     for(int i=0;i

打印结果是：

A1和A2相乘

A0和A1相乘

A3和A4相乘

A3和A5相乘

A0和A3相乘

实际上要表达的是如下加括号方式：

（（A0（A1A2））（（A3A4）A5））

加了括号之后用第一个来代替，例如（A1A2 ）可看作A1 ，这个结果的数乘次数是15125 。