【笔记2-3】李宏毅深度强化学习笔记（三）Q-Learning

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李宏毅深度强化学习笔记（一）Outline
李宏毅深度强化学习笔记（二）Proximal Policy Optimization (PPO)
李宏毅深度强化学习笔记（四）Actor-Critic
李宏毅深度强化学习笔记（五）Sparse Reward
李宏毅深度强化学习笔记（六）Imitation Learning
李宏毅深度强化学习课件

Q-Learning介绍

基本思想

Q-learning – value-base

什么是Critic:
critic并不直接决定采取什么行动，但是会用来衡量一个actor的好坏
critic的输出值取决于被评估的actor

状态价值函数 $V^{\pi }(s)$:
对于actor $\pi$, 给定状态s，期望得到的累积收益，该值取决于状态s和actor $\pi$

如何估计状态价值函数 $V^{\pi }(s)$:

1. 基于蒙特卡洛的方法Monte-Carlo (MC)
   critic 观察 $\pi$ 进行游戏的整个过程, 直到该游戏回合结束再计算累积收益（通过比较期望收益和实际收益G，来训练critic）
   Tip: 有时一个游戏回合可能会很长，这个等到游戏回合结束再计算收益的方法训练起来会很慢，因此引入另外一种方法 Temporal-difference（TD）
2. 时序分差方法Temporal-difference (TD)
   时序分差算法计算的是两个状态之间的收益差. （通过比较期望差异与实际差异r之间的差别来训练critic）

MC vs. TD
由于从游戏中获取的收益是一个随机变量，而MC方法是各状态下收益的加总，相对而言，MC方法得到的实际累积收益G的方差会很大.
相比较而言，TD只考虑状态之间的收益差，因此方差较小，但是由于没有从整体收益进行考虑，因此该方法的准确性不能得到保证

状态-行动价值方程 (another critic) $Q^{\pi }(s,a)$:
对于给定的actor $\pi$, 在状态s采取行动a预计能够得到的累计收益

Q-Learning:

1. 使用一个初始的actor $\pi$ 与环境进行互动
2. 学习该actor对应的 Q function
3. 一定存在另外一个表现更好的actor ${\pi }^{\prime }$ , 用这个更好的actor来替代原来的actor
4. 重复上述步骤

更好的 ${\pi }^{\prime }$ 的含义是，对于所有的状态s，一定有 “采取${\pi }^{\prime }$获得的状态价值函数不小于$\pi$得到的状态价值函数 ”，那么${\pi }^{\prime }$就是由对Q求argmax返回的actor

Tips:

1. ${\pi }^{\prime }$ 不包含额外的参数，它只取决于Q
2. 对于连续的action不适用

证明 (${\pi }^{\prime }$的存在性):

Tip1: Target network
计算Q的方式与TD类似，但是，在训练的过程中，由 $s_t$ 和 $s_{t+1}$ 生成的值是不固定的，在这种情况下训练会比较困难。
因此，在训练的时候，用来计算 的网络会被固定 $s_{t+1}$，称为固定网络，于是，目标问题就变成了一个回归问题。
如下图，当前时间t网络生成的Q值与下一个时间网络生成的Q值（固定）之间应该只相差$r_t$，因此需要用真实的 $r_t$ 与模型计算出来的 $r_t$ 进行回归逼近。

Tip2: Exploration
对于Q方程，它是policy的基础，这会导致actor每次都会选择具有更大Q值的行动action，对于收集数据而言是一个弊端，可以采用以下方法解决：

1. Epsilon Greedy (在训练的过程中 $ϵ$ 的值会逐渐减小)
   下述公式的含义是，在采取action的时候，actor会有 $1-ϵ$ 的概率选择使得Q值最大的a，随着训练时间变长，$ϵ$ 的值逐渐减小，在后期actor选择最大Q值对应的a才会变大。
   
2. Boltzmann Exploration (和 policy gradient 类似, 根据一个概率分布来进行采样)
   

Tip3: Replay Buffer
step1: 用 $\pi$ 和环境互动
step2: 将步骤1中互动得到的经验放入一个 buffer (放在buffer里面的经验来自不同的policy，当buffer满了的时候，移除旧的经验)
(这里所说的经验是指集合 $s_t,a_t,r_t,s_{t+1}$)
step3: 在每一次迭代中，学习 $Q^{\pi }(s,a)$: 1. 部分采样 2. 更新 Q-function
step4: 找到一个比 $\pi$ 更好的 ${\pi }^{\prime }$
step5: 重复上述步骤

典型的 Q-Learning 算法
先对Q function进行初始化，并令目标Q function和初始Q function相等。
在每个episode中，对于每个时间t：

1. 给定状态state $s_t$，基于使用epsilon greedy的Q采取行动action $a_t$
2. 得到对应的回报reward $r_t$ 以及新的状态state $s_{t+1}$
3. 将收集到的$\{s_t,a_t,r_t,s_{t+1}\}$存入reply buffer
4. 从reply buffer当中任意采样得到$\{s_i,a_i,r_i,s_{i+1}\}$（通常是取一部分样本）
5. 目标值为 $y=r_i+ma{x}_a\hat{Q}(s_{i+1},a)$
6. 根据目标值进行回归，不断更新Q的参数，使得计算出来的 $Q(s_i,a_i)$ 接近于真实值y
7. 每C步更新一次 $\hat{Q}=Q$
   

关于Q-Learning 的几点建议

Double DQN
由于Q值总是基于使得Q最大的action得出的，因此会趋向于被高估，于是引入double DQN
double DQN的真实Q值往往比Q-learning高

1. 为什么 Q 经常被高估
   因为目标值 $r_t+maxQ(s_{t+1},a)$ 总是倾向于选择被高估的行动action
2. double DQN 是如何工作的?
   使用两个Q function（因此称为double）, 一个用来选择行动action，另外一个用来计算Q值，通常会选择target network来作为另外一个用于计算Q值的Q‘ function.
   
   如果Q高估了 a 从而被选择， Q’ 会给这个被选择的a一个合适的Q值
   入股Q’会高估某个action a，这个action并不会被Q选择到

Dueling DQN
只对网络结构进行改变！

这里计算出来的值有两个:
V(s): 表示静态环境，状态s所具有的价值.
A(s,a): 表示在状态s下采取行动a时的 advantage function
这种类型的网络结构可以用来学习不被行动action影响下的state的价值
通常，在计算 A(s,a) 时，使用单个行动对应的 advantage function 的值减去在该状态下采取所有行动所获得的 advantage function 的值的平均值，因此，对于一个状态下的所有action，具有零和特征。(normalise 在和 $V(s)$相加之间进行)
此外，如果只需要通过改变V(s)的值就能改变某个状态下所有的Q的话，会比较方便

Prioritized Experience Replay
简单地说，在训练的过程中，对于在经验buffer里面的样本，那些具有更好的TD 误差的样本会有更高的概率被采样，这样可以加快训练速度。
在这个过程中，参数更新的过程也会有相应的更改。

Multi-step: Combination of MC and TD
此处，模型需要学习多步累积起来的回报reward，也就是说将MC和TD进行了折中，同时引入了一个超参数，即累积reward的步长N

Noisy Net:
Epsilon Greedy vs. Noisy Net
Epsilon Greedy: 在行动上加噪声

即便给定相同的状态state，agent也有可能采取不同的行动，因此，实际上这里并没有真正意义上的policy
Noisy Net: 在参数上加噪声
在每个episode开始时，在Q function的参数上引入噪声，但在每一个episode内，参数不会发生改变。给定同样的state，agent会采取同一个action

Distributional Q-function
状态-行动价值函数 $Q^{\pi }(s,a)$ 是累积收益的期望值，也就是说是价值分布的均值。然而，有的时候不同的分布得到的均值可能一样，但我们并不知道实际的分布是什么。

Distributional Q-function 认为可以输出Q值的分布，当具有相同的均值时，选择具有较小方差（风险）的那一个
但实际上，这个方法很难付诸实践。

Rainbow:

上述图像表明 DDQN 对于rainbow来说用处不大，这是因为DDQN是用来解决高估问题的，而这个问题在 distributional Q function 中已经得到了解决

连续行动下的 Q-Learning

连续行动:
在某些情况下，action是一个连续向量（比如驾驶类游戏，需要决定一个连续的角度）
在这种情况下，Q learning 并不是一个用来寻找最佳action的好方法
解决方式一:
采样一系列行动，看哪个行动会返回最大的Q值
解决方式二:
使用梯度上升来解决这个优化问题（具有较高的计算成本）
解决方式三:
设计一个网络来使得这个优化过程更简单

这里 $\sum$ 和 $\mu$ 是高斯分布的方差和均值，因此，该矩阵 $\sum$ 一定是正定的。
要让Q值较高，意味着要使得 $(a-\mu {)}^2$ 的值更小，也就是说 a=$\mu$.
解决方式四:
不使用 Q-learning
具体细节将在下一个笔记中进行介绍