python与线性代数 解线性方程组
阶梯型矩阵:
1.非零行在零行之上
2.某一行的先导元素(leading entry)所在的列位于前一行先导元素的右面
3.某一先导元素所在列下方元素都是零
简化阶梯型(reduced echelon form)
1.先导元素是1
2.每一行先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素
一个矩阵可以行化简编程阶梯形矩阵,不同的方法可以化为不同的阶梯形矩阵.然而,一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯型矩阵.
矩阵中的主元位置(pivot positions)是A中对应于它的阶梯形中先导元素的位置.住院列(pivot column)是A的含有主元位置的列
行化简方法:
1.由最左的非零列开始,这是一个主元列,主元位置在该列顶端
2.在主元列中选取一个非零元作为主元.如有必要,兑换两行使这个元素移动到主元位置上.
3.用倍加行变换将主元下面的元素变成0
4.暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行,对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止.
5.由最右边的主元开始,把每个主元上方的各元素变成0,若某个主元不是1,用倍乘变换将它变为1
第1~4称为行化简算法的向前步骤(forward phase),
产生唯一的简化阶梯型的第5步称为向后步骤(backward phase)
线性方程组的解
对应于主元列的变量 x1 x 1 称为基本变量(basic variables),其他变量称为自由变量(free variables)
如果一个方程组没有唯一解,就可以用自由变量表示基本变量,这样的解叫做通解
线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列.