python与线性代数 向量方程
R2 R 2
所有两个元素的向量的集记为 R2 R 2 , R R 表示向量中的元素是实数,而指数2表示每个向量包含两个元素.元素用 w1,w2 w 1 , w 2 表示,代表任意实数.
R2 R 2 中两个向量相等,当且仅当对应元素相等,既向量是有序的实数对
向量相加,是对应位置的元素相加
向量*实数,是元素分别相乘
有时为了方便我们会将:
简写成(1,4)的形式,我们用圆括弧表示向量,并在两个元素之间加上逗号,以便区别向量(1,4)与1*2行矩阵[1 4],后者使用方括号,且两个元素之间无逗号.
也就是说 [14] [ 1 4 ] 和[1 4]不相等,因为维度不同.
R3 R 3
R3 R 3 中的向量是3*1列矩阵,有3个元素.他们表示3维坐标空间中的点,或起点为原点的箭头如: ⎡⎣⎢145⎤⎦⎥ [ 1 4 5 ]
Rn R n
若n是正整数, Rn R n 表示所有n个实数数列(或有序n元组)的集合,通常写成n*1列矩阵的形式,如 ⎡⎣⎢⎢⎢u1u2...un⎤⎦⎥⎥⎥ [ u 1 u 2 . . . u n ]
定义 若 v1,v2,...,vp v 1 , v 2 , . . . , v p 是 Rn R n 中的向量,则 v1,v2,...,vp v 1 , v 2 , . . . , v p 的所有线性组合所成的集合用记号 Span{v1,v2,...,vp} S p a n { v 1 , v 2 , . . . , v p } 表示,称为 v1,v2,...,vp v 1 , v 2 , . . . , v p 所生成的 Rn R n 的子集,也就是说, Span{v1,v2,...,vp} S p a n { v 1 , v 2 , . . . , v p } 是所有形如 c1v1+c2v2+...+cpvp c 1 v 1 + c 2 v 2 + . . . + c p v p 的向量的集合,其中 c1,c2,...,cp c 1 , c 2 , . . . , c p 为标量.
要判断向量b是否属于 Span{v1,v2,...,vp} S p a n { v 1 , v 2 , . . . , v p } ,就是判断方程 c1v1+c2v2+...+cpvp=b c 1 v 1 + c 2 v 2 + . . . + c p v p = b 是否有解.等价地,就是判断增广矩阵 [v1,v2,...,vp] [ v 1 , v 2 , . . . , v p ] 的线性方程组是否有解.
Span{v} S p a n { v } 与 Span{v,u} S p a n { v , u } 几何解释
设 v v 是 R3 R 3 中的向量,那么 Span{v} S p a n { v } 就是 v v 的所有数量倍数的集合,也就是通过 v v 和 0 0 的直线上的所有点的集合.
设 u u 和 v v 是 R3 R 3 中的非零向量, v v 不是 u u 的倍数,则 Span{v,u} S p a n { v , u } 是 R3 R 3 中通过 u u , v v 和 0 0 的平面.