python与线性代数 线性方程组的解集

齐次线性方程组
齐次线性方程组(homogeneous systems)是指, Ax=0 A x = 0 ,其中 A A 是 m∗n m ∗ n 矩阵而 0 0 是 Rm R m 中的零向量.这样的方程至少有一个解,即 x=0 x = 0 ,这个解称为它的平凡解(trival solution).而重要的是研究它是否有非凡解(nontrivial solution),即满足 Ax=0 A x = 0 的非零向量 x x .

齐次方程 Ax=0 A x = 0 有非凡解,当且仅当方程至少有一个自由变量.

齐次方程 Ax=0 A x = 0 总可表示为 Span{v1,...,vp} S p a n { v 1 , . . . , v p } ,其中 v1,...,vp v 1 , . . . , v p 是适当的解向量.
若唯一解释零向量,则解集就是$Span{0},
若方程仅有一个自由变量,解集是通过原点一条直线,
若有两个自由变量,解集是一个平面.

非齐次线性方程组
(nonhomogeneous systems)

设方程 Ax=b A x = b 对某个 b b 是相容的, p p 为一个特解,则 Ax=b A x = b 的解集是所有形如 w=p+vh w = p + v h 的向量的集,其中 vh v h 是齐次方程 Ax=0 A x = 0 的任意一个解.