[BZOJ3771]Triple（生成函数+FFT+容斥原理）

题目描述

传送门

题目大意：给出n个互不相同的数，问从中选出1/2/3个数，每一个可以组合出的和有多少种方案。

题解

首先1个的直接统计
将所有的数搞成一个生成函数，做一遍卷积搞出来选2个的答案
但是2个的存在选了两个相同的，或者选了一个排列，直接除2即可
然后生成函数卷两次统计选3个的答案
这里需要容斥一下，(选3个的答案-强行选了2个一样的*3+强行选了3个一样的*2)/6才是不考虑顺序、选不重复的3个的答案
强行选了3个一样的直接枚举，强行选了2个一样的就将每一个数的两倍搞成生成函数再和1的卷一下求出
用FFT加速

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 300005

const double pi=acos(-1.0);
int cnt,Max;
int val[N],n,m,L,R[N],ans3[N],F[N];
struct complex
{
    double x,y;
    complex(double X=0,double Y=0)
    {
        x=X,y=Y;
    }
}a[N],b[N];
complex operator + (complex a,complex b) {return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator - (complex a,complex b) {return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator * (complex a,complex b) {return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}

void FFT(complex a[N],int opt)
{
    for (int i=0;iif (ifor (int k=1;k1)
    {
        complex wn=complex(cos(pi/k),opt*sin(pi/k));
        for (int i=0;i1))
        {
            complex w=complex(1,0);
            for (int j=0;jcomplex x=a[i+j],y=w*a[i+j+k];
                a[i+j]=x+y,a[i+j+k]=x-y;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&cnt);
    for (int i=1;i<=cnt;++i)
        scanf("%d",&val[i]),Max=max(Max,val[i]),++F[val[i]];
    // 1把 

    m=Max<<1;L=0;
    for (n=1;n<=m;n<<=1) ++L;
    for (int i=0;i>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    for (int i=0;i<=n;++i) a[i]=b[i]=complex(0,0);
    for (int i=1;i<=cnt;++i) a[val[i]].x=b[val[i]].x=1.0;
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    for (int i=0;i<=n;++i) a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,-1);
    for (int i=0;i<=n;++i) a[i].x/=n;
    for (int i=0;i<=n;++i) F[i]+=(int)(a[i].x+0.5)>>1;
    // 2把

    m=Max*3;L=0;
    for (n=1;n<=m;n<<=1) ++L;
    for (int i=0;i>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    for (int i=0;i<=n;++i) b[i]=complex(0,0);
    for (int i=1;i<=cnt;++i) b[val[i]].x=1.0;
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    for (int i=0;i<=n;++i) a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,-1);
    for (int i=0;i<=n;++i) a[i].x/=n;
    for (int i=0;i<=n;++i)
        ans3[i]+=(int)(a[i].x+0.5);
    // 所有的答案

    m=Max<<2;L=0;
    for (n=1;n<=m;n<<=1) ++L;
    for (int i=0;i>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    for (int i=0;i<=n;++i) a[i]=b[i]=complex(0,0);
    for (int i=1;i<=cnt;++i) a[val[i]<<1].x=1.0,b[val[i]]=1.0;
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    for (int i=0;i<=n;++i) a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,-1);
    for (int i=0;i<=n;++i) a[i].x/=n;
    for (int i=0;i<=n;++i) ans3[i]-=(int)(a[i].x+0.5)*3;
    // 强制2把一样，并且消除排列的影响 
    for (int i=1;i<=cnt;++i) ans3[val[i]*3]+=2;
    // 强制3把都一样，并且消除排列的影响 
    for (int i=0;i<=n;++i) F[i]+=ans3[i]/6;
    // 3把 

    for (int i=0;i<=Max*3;++i)
        if (F[i]) printf("%d %d\n",i,F[i]);
}