投射投影过程数学推导

顶点数据经过模型变换、相机变换转换到观察空间，之后渲染系统引入视椎体的概念，并通过投影变换将视椎体转换到统一设备坐标系中，方便剪裁和后续窗口映射工作。

投影变换其实就是将不同对的视锥体映射到标准设备坐标的过程，投影变换过程中实际上并未实际计算顶点的NDC坐标，而是在后面齐次除法中进行，不过投影变换的整个过程与之息息相关，应该说是作为一个目标。

1 视锥体

一般而言，常用的视锥体有两种， 如下图所示。视锥体一般由6个剪裁平面决定，包括近剪裁面和远剪裁面

2 统一设备坐标系 NDC

可以理解为一个立方体，中心点在中间， x,y,z

方向的范围 [−1,1] (OpenGL中，在有些文档中描述为CVV，傻傻的分不清楚了，但是表达的意思是相同的)，注意的是不同的API定义的NDC不尽相同，DirectX定义 z 范围为 [0,1]

,本文主要使用OpenGl的NDC坐标范围，不过整个推导过程相同。

3 设定

1. 转换过程推导以OpenGl为准，也就是采用右手坐标系，观察方向位沿Z轴负方向

2. 涉及的符号为不带符号数，比如下文中近邻面 z

坐标 n 大于远邻面 f

4.平行投影

设观察空间中，视椎体的为 [l,r]×[b,t]×[f,n]

，其中 l<randb<tandf<n

平行视椎体 和NDC都是立方体，所以可以通过平移 T(t) 和缩放 S(s) 实现 ， 其过程如下图所示
T(t) 将视椎体中心移动到坐标系中心，平移矩阵如下：

T(t)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢100001000010−l+r2−t+b2−n+f21⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

S(s) 将平移后视椎体的 (x,y,z) 转换到 [−1,1] 区间，

S(s)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b00002n−f00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

1. 
   

所以转换矩阵

Moth=S(s)T(t)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b00002n−f0r+lr−lt+bt−bn+fn−f1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

5.透视投影

透视投影的特征就是投影线都会经过视点，也就是摄像机中心，一般在计算中会将视椎体的近平面 z=n

作为成像平面。投影矩阵可以直接通过投影关系以及视锥体和NDC区间的关系建立方程求教获得，可以参考Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics 第五章 。不过这里采用另外一种方式，先将透视投影的视椎体转换为平面投影的视椎体，然后再利用平行投影的视椎体获得透视投影矩阵。

5.1 透视关系

假设空间中一点的坐标为 P(px,py,pz)

,其在$z = n 上的投影点位 q(q_x , q_y,n)$ ， 根据比例关系可知：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪qx=npzpxqy=npzpyqz=n

5.2 深度关系

上述过程可以实现将空间中点转换到2D图像中，但点 q(qx,qy,n)

的 z 保持为 n ， 实际上 z 应该保持 [n,f] 的区间，另一方面在光栅化过程中对 1z 进行插值，所以 z 的变换函数应该是 1z 的线性函数，假设 z 的变换函数为

http://www.kanxia.org/info/3393.html

qz=apz+b

由 z

的区间映射关系 [n,f]→[n,f] 以得：

{n=an+bf=af+b

计算可得：

{a=−nfb=n+f

也就是说转换函数为

qz=−nfpz+(n+f)

5.3 透视视锥体转换到平行视锥体

通过上面的推导，透视投影视椎体转换为平行投影视椎体的过程可以表达为：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪qxpz=npxqypz=npyqzpz=(n+f)pz−nfpz=pz

用齐次坐标表达以及转换过程：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢qxpzqypzqzpzpz⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢qxqyqz1⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢npxnpy(n+f)pz−nfpz⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢n0000n0000n+f100−fn0⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpypz1⎤⎦⎥⎥⎥⎥=Mper→oth⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpypz1⎤⎦⎥⎥⎥⎥

结合平行投影转换矩阵，获得透视投影转换矩阵：

Mpre=MothMper→oth

即：

Mpre=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−bn+fn−f1002nfn−f0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

总结

上文即笔者总结的透视变换的数学推导过程，毕业后第一次写这样的文章，无非是想把这个过程完全理清楚是怎么回事。之前看的时候感觉没什么问题啊，但是在写的时候还是遇到一些问题，比如：

1. Canonical view volume(CVV) 与 Normalized device Coordinaate(NDC)的关系，参考了几本书中的描述，其实都有点混淆，包括RTR中也会同时出现这两个概念，不过最终还是没弄明白怎么个区分方法，暂且当做一个概念吧
2. z

1. 投影前后的计算公式，好几本书都是直接给出结论的，最后还是在Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics中找到具体的流程，也可以参考另外一篇PPT

总之，本文会有很多描述不清晰或者弄错的地方，遇到的请帮忙指教。