《算法概论》课后习题8.8 证明4SAT是NP完全的

题目

8.8. In the EXACT 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of is a disjunction of exactly four literals, and such that each variables occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove the EXACT 4SAT is NP-complete.

这道题要求我们证明精确4SAT问题是NP完全的，所谓精确4SAT，它和SAT是类似的，但是多了约束条件，我们都知道SAT是由多个子句组成的，每个子句里有若干个文字，而精确4SAT要求每个子句必须包含4个文字，且这4个文字不能重复。

精确4SAT是NP的

首先，给出一个精确4SAT可能的解，我们可以在多项式时间验证这个解是否正确，所以精确4SAT是NP的。

精确4SAT是NP完全的

要证明精确4SAT是NP完全，可以通过将一个已知的NP完全问题归约成精确4SAT。

我们都知道3SAT是NP完全的，在3SAT中，每个子句最多有3个文字，而且是可以重复的。

我们可以通过以下2步将3SAT问题转换成精确4SAT问题：
1. 对于3SAT的每个子句，如果存在重复的文字，我们可以只保留其中一个；如果同时存在 x 和 x⎯⎯ 这两种文字，那么这两个文字必定有一个为true，所以这一子句必定为true，这一子句不会影响最终结果，可以直接去掉。
2. 这时候在剩下的子句中，每个子句包含的文字数量可以是1、2或者3。我们需要加入无关变量来将其扩充到4个文字。
对于包含3个文字的子句，如：

(x⋁y⋁z)(式1)

我们可以加入无关变量n，得到：

(x⋁y⋁z⋁n)(x⋁y⋁z⋁n⎯⎯)(式2)

因为 n 和 n⎯⎯ 之间必定有一个为false，所以要使得式2为true，式1也必须为true。所以精确4SAT的解也满足3SAT。

而对于包含2个文字的子句，可以用类似的方法先扩充到3个文字，再扩充到4个文字；对于只有1个文字的子句也类似。
这个从3SAT到精确4SAT的问题转换过程也是多项式时间内可以完成的。
当在精确4SAT中找到合适的解之后，我们去掉无关变量剩下的解就是3SAT的解，这也是可以在多项式时间内完成的。
所以， 3SAT→精确4SAT 。

综上所述，3SAT问题可以归约为精确4SAT问题，由于3SAT是NP完全的，所以精确4SAT也是NP完全的。