01背包问题和完全背包问题

在hihocoder上面的题目中看到的这个问题，总结一下。先看01背包问题。

01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？

看到这个问题，可能会想到贪心算法，但是贪心其实是不对的。例如最少硬币找零问题，要用动态规划。动态规划思想就是解决子问题并记录子问题的解，这样就不用重复解决子问题了。

动态规划先找出子问题，我们可以这样考虑：在物品比较少，背包容量比较小时怎么解决？用一个数组f[i][j]表示，在只有i个物品，容量为j的情况下背包问题的最优解，那么当物品种类变大为i+1时，最优解是什么？第i+1个物品可以选择放进背包或者不放进背包（这也就是0和1），假设放进背包（前提是放得下），那么f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]]+value[i+1]；如果不放进背包，那么f[i+1][j]=f[i][j]。

这就得出了状态转移方程：

f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]]+value[i+1])。

可以写出代码测试：

 #include
 using namespace std;
 #define  V 1500
 unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0
 unsigned int weight[10];
 unsigned int value[10];
 #define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
 int main()
 {

     int N,M;
     cin>>N;//物品个数
     cin>>M;//背包容量
     for (int i=1;i<=N; i++)
     {
         cin>>weight[i]>>value[i];
     }
     for (int i=1; i<=N; i++)
         for (int j=1; j<=M; j++)
         {
             if (weight[i]<=j)
             {
                 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
             }
             else
                 f[i][j]=f[i-1][j];
         }

     cout<//输出最优解

 }

在hihocoder上面还讲到可以进一步优化内存使用。上面计算f[i][j]可以看出，在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用其他子问题，因此在存储子问题的解时，只存储f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决，一个存储子问题，一个存储正在解决的子问题。

再进一步思考，计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j]，没有使用f[i-1][j+1]这样的话，我们先计算j的循环时，让j=M……1，只使用一个一维数组即可。

for i=1……N

for j=M……1

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i])

 #include
 using namespace std;
 #define  V 1500
 unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0
 unsigned int weight[10];
 unsigned int value[10];
 #define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
 int main()
 {

     int N,M;
     cin>>N;//物品个数
     cin>>M;//背包容量
     for (int i=1;i<=N; i++)
     {
         cin>>weight[i]>>value[i];
     }
     for (int i=1; i<=N; i++)
         for (int j=M; j>=1; j--)
         {
             if (weight[i]<=j)
             {
                 f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
             }
         }

     cout<//输出最优解

 }

在看完01背包问题，再来看完全背包问题： 一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，每个物品都有无限多件，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？

对比一下，看到的区别是，完全背包问题中，物品有无限多件。往背包里面添加物品时，只要当前背包没装满，可以一直添加。那么状态转移方程为：

f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]]+k*value[i+1])，其中0<=k<=V/weight[i+1]

使用内存为一维数组，伪代码

for i=1……N

for j=1……M

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i])

和01背包问题唯一不同的是j是从1到M。01背包问题是在前一个子问题（i-1 种 物品）的基础上来解决当前问题（i 种 物品），向i-1种物品时的背包添加第i种物品；而完全背包问题是在解决当前问题（i种物品），向i种物品时的背包添加第i种物品。

代码如下：

 #include
 using namespace std;
 #define  V 1500
 unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0
 unsigned int weight[10];
 unsigned int value[10];
 #define  max(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)
 int main()
 {

     int N,M;
     cin>>N;//物品个数
     cin>>M;//背包容量
     for (int i=1;i<=N; i++)
     {
         cin>>weight[i]>>value[i];
     }
     for (int i=1; i<=N; i++)
         for (int j=1; j<=M; j++)
         {
             if (weight[i]<=j)
             {
                 f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
             }
         }

     cout<//输出最优解

 }