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本次总结中的 1-4 小节主要介绍了增强学习中的一些重要的概念,如:Goals、Rewards、Returns、Episode 等,第 5 小节介绍了 Markov Property,第 6 小节介绍了 Markov Decision Processes,第 7、8 小节介绍了 RL 中的 Value Function。可以说这次总结也是为之后介绍 RL 相关算法做了铺垫。
在强化学习(Reinforcement Learning, RL)初步介绍中曾经介绍了 RL 问题的一般模型,下面再简单回顾一下:
在 RL 中,agents 是具有明确的目标的,所有的 agents 都能感知自己的环境,并根据目标来指导自己的行为,因此 RL 的另一个特点是它将 agents 和与其交互的不确定的环境视为是一个完整的问题。在 RL 问题中,有四个非常重要的概念:
(1)规则(policy)
Policy 定义了 agents 在特定的时间特定的环境下的行为方式,可以视为是从环境状态到行为的映射,常用 π \pi π来表示。policy 可以分为两类:
确定性的 policy(Deterministic policy): a = π ( s ) a=\pi(s) a=π(s)
随机性的 policy(Stochastic policy): π ( a ∣ s ) = P [ A t = a ∣ S t = t ] \pi(a|s)=P[A_t=a|S_t=t] π(a∣s)=P[At=a∣St=t]
其中, t t t是时间点, t = 0 , 1 , 2 , 3 , … … t=0,1,2,3,…… t=0,1,2,3,……
S t ∈ S S_t\in{\mathcal{S}} St∈S, S {\mathcal{S}} S是环境状态的集合, S t S_t St代表时刻 t t t 的状态, s s s 代表其中某个特定的状态;
A t ∈ A ( S t ) A_t\in{\mathcal{A}}(S_t) At∈A(St), A ( S t ) {\mathcal{A}}(S_t) A(St) 是在状态 S t S_t St 下的 actions 的集合, A t A_t At 代表时刻 t t t 的行为, a a a 代表其中某个特定的行为。
(2)奖励信号(a reward signal)
Reward 就是一个标量值,是每个 time step 中环境根据 agent 的行为返回给 agent 的信号,reward 定义了在该情景下执行该行为的好坏,agent 可以根据 reward 来调整自己的 policy。常用 R R R 来表示。
(3)值函数(value function)
Reward 定义的是立即的收益,而 value function 定义的是长期的收益,它可以看作是累计的 reward,常用 v v v 来表示。
(4)环境模型(a model of the environment)
整个Agent和Environment交互的过程可以用下图来表示:
其中, t t t 是时间点, t = 0 , 1 , 2 , 3 , … … t=0,1,2,3,…… t=0,1,2,3,……
S t ∈ S S_t\in{\mathcal{S}} St∈S, S {\mathcal{S}} S 是环境状态的集合;
A t ∈ A ( S t ) A_t\in{\mathcal{A}}(S_t) At∈A(St), A ( S t ) {\mathcal{A}}(S_t) A(St) 是在状态 S t S_t St 下的 actions 的集合;
R t ∈ R ∈ R R_t\in{\mathcal{R}}\in{\Bbb R} Rt∈R∈R 是数值型的 reward。
在每个时间步骤中,agent 都会实现一个从 states 到每个可能的 actions 的 probabilities 的映射,这个映射函数就称作是这个 agent 的 p o l i c y policy policy,常用符号 π t \pi_t πt 来表示, π t ( a ∣ s ) \pi_t(a|s) πt(a∣s) 指的就是在状态 S t = s S_t=s St=s 下选择执行 A t = a A_t=a At=a 的概率。
其实概括的来说,不同的 RL 方法的主要不同就是利用 experience 来改变自己的 π t \pi_t πt 的方法,毕竟RL就是从 experience 中进行学习的一系列方法。
在RL中,goals和rewards是两个重要的概念,在每个时间步骤中,环境返回给 Agent 的 reward 就是一个简单的数值,而 Agent 的 goal 就是最大化它接受到的所有的 reward signal 的和,也就是说,它的目的不是最大化当前步骤的立即获得的 reward ,而是一个长远的目标,并且需要注意的是,这个 reward 是由 environment 定义的而非 Agent。
刚刚提到,Agent 的 goal 就是最大化它接受到的所有的 reward signal 的和,那么就需要将这个目标值用函数的形式来表达出来,这里令时间 t t t 获得的 reward 为 R t + 1 , R t + 2 , R t + 3 , … R_{t+1}, R_{t+2}, R_{t+3}, \ldots Rt+1,Rt+2,Rt+3,… ,令 G t G_t Gt 代表期望的 return,那么最简单的 return 的形式为:
G t ≐ R t + 1 + R t + 2 + R t + 3 + … + R T ( 1 ) G_t \doteq R_{t+1}+R_{t+2}+R_{t+3}+\ldots +R_T \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) Gt≐Rt+1+Rt+2+Rt+3+…+RT (1)
其中, T T T 代表最后一个的时间步骤。
这时就需要再引入一个新的概念 e p i s o d e s episodes episodes,翻译成中文的话就是“片段、插曲”的意思,这里指的是一个可以自然结束的 agent-environment 交互的过程,每个 episode 都会在一个特殊的状态下结束,这个状态就称作是 t e r m i n a l s t a t e terminal\ state terminal state,因此每个 episode 的相同点是它们都以 terminal state 来结束,不同就是每个 episode 获得的 reward 不同,采用 episodes 形式的 tasks 就称为是 e p i s o d i c t a s k s episodic\ tasks episodic tasks,在episodic tasks 中,常常将所有非终止的状态的集合记为是 S {\mathcal{S}} S,而把包含终止状态的所有状态的集合记为是 S + {\mathcal{S}}^+ S+。
与 episode task 相对应的另外一种是 c o n t i n u i n g t a s k s continuing\ tasks continuing tasks,它们指的是那些不会自然结束,会一直持续进行的 task,这时return公式(1)中的 T = ∞ T=\infty T=∞。
还有一个比较重要的概念是 d i s c o u n t i n g discounting discounting,它是对未来不同时刻的 reward 赋予不同的权重,距离现在较近的 reward 的权重较高,而时间越远的权重越低,这时选择行为 A t A_t At 的准则就是最大化期望的 d i s c o u n t e d r e t u r n discounted\ return discounted return:
G t ≐ R t + 1 + γ R t + 2 + γ 2 R t + 3 + … = ∑ k = 0 ∞ γ k R t + k + 1 G_t \doteq R_{t+1}+{\gamma}R_{t+2}+{\gamma}^2R_{t+3}+\ldots =\sum_{k=0}^{\infty}{\gamma_kR_{t+k+1}} Gt≐Rt+1+γRt+2+γ2Rt+3+…=k=0∑∞γkRt+k+1
其中 0 ≤ γ ≤ 1 0\leq\gamma\leq1 0≤γ≤1 称为是 d i s c o u n t r a t e discount\ rate discount rate,它代表未来第 k k k 步的 reward 的价值只是当前立即获得的 reward 的 γ k − 1 \gamma^{k-1} γk−1 倍,若 γ < 1 \gamma<1 γ<1,则当序列 { R k } \{R_k\} {Rk} 有界的时候 G t G_t Gt 可以得到一个有限的值,若 γ = 0 \gamma=0 γ=0,则认为这个 agent 是“myopic”(目光短浅的),它只关心当前的 rewards,选择下一个 A t A_t At 的准则就是最大化 R t + 1 R_{t+1} Rt+1。 γ \gamma γ 越趋近于 1 1 1,则这个 agent 越是具有“远见的”。
增强学习任务大致可以分为两类:一类是 agent-environment 交互过程可以自然结束的 episodes 或者称为是 episodic tasks,另外一类是不能自然结束的 continuing tasks, 其中第一种任务的数学表达较为简单,因为每一个 action 只会影响有限数量的 rewards。
下面先介绍 episode 的数学表达形式,假设这里考虑的是一系列具有有限时间步骤的 episodes,每个 episode 的时间步骤都是从 0 0 0 开始标记的,这里用 S t , i S_{t,i} St,i 来代表第 i i i 个 episode 在第 t t t 时刻的状态,这种表达方式同样可以扩展到 A t , i , R t , i , π t , i , T i A_{t,i}, R_{t,i}, \pi_{t,i}, T_{i} At,i,Rt,i,πt,i,Ti 等,之后的介绍中如果没有特别的标定 i i i,代表这个符号针对的是一个任意的 episode,它可以推广到所有的 episodes。
其实 episodic 和 continuing tasks 是可以表达成统一的形式的,比如考虑下图这种转换形式,它的特殊在于具有一个特殊的 a b s o r b i n g s t a t e absorbing\ state absorbing state,即图中用黑色阴影标识的状态,它的特点是这个状态只能转换到自己本身,而不能转换成其他的状态,从初始状态 S 0 S_0 S0 开始,它获得的 reward 序列为 + 1 , + 1 , + 1 , 0 , 0 , 0 , … +1,+1,+1,0,0,0, \ldots +1,+1,+1,0,0,0,…,则对这个序列求和得到的值与对前 T T T (这里 T = 3 T=3 T=3)个 reward 求和得到的结果相同。
因此,可以将这两种情况统一表达成:
G t ≐ ∑ k = 0 T − t − 1 γ k R t + k + 1 G_t \doteq \sum_{k=0}^{T-t-1}{\gamma_kR_{t+k+1}} Gt≐k=0∑T−t−1γkRt+k+1
其中,包含了 T = ∞ T=\infty T=∞ 和 γ = 1 \gamma=1 γ=1 的情况(但是这俩不能同时满足)。
在 RL 框架中,agent是依据环境的状态来做决定,那么这个环境的 state signal 能说明什么?不能说明什么呢?在 RL 中比较关心的一种情况是环境具有 Markov property 的情景。
通常,将能够成功保留所有相关信息的状态信号就称为是 M a r k o v Markov Markov,或者称是具有 M a r k o v p r o p e r t y Markov\ property Markov property。这种性质怎样用数学表达式来表示呢?我们知道,一般环境的下一个状态是由之前所有的状态来决定的,这种动态性可以表示成一个联合概率分布:
P r { S t + 1 = s ′ , R t + 1 = r ∣ S 0 , A 0 , R 1 , … , S t − 1 , A t − 1 , R t , S t , A t } Pr\{S_{t+1}=s\prime,R_{t+1}=r|S_0,A_0,R_1,\ldots,S_{t-1},A_{t-1},R_t,S_t,A_t\} Pr{St+1=s′,Rt+1=r∣S0,A0,R1,…,St−1,At−1,Rt,St,At}
如果这个状态信号具有 $ Markov\ property$,那么环境的动态性完全由上一个状态和行为来决定,即:
p ( s ′ , r ∣ s , a ) ≐ P r { S t + 1 = s ′ , R t + 1 = r ∣ S t = s , A t = a } p(s\prime,r|s,a)\doteq Pr\{S_{t+1}=s\prime, R_{t+1}=r| S_t=s, A_t=a\} p(s′,r∣s,a)≐Pr{St+1=s′,Rt+1=r∣St=s,At=a}
如果满足这个属性,那么预测下一个 states 和期望的 reward 只需利用当前的状态和 action 即可,而不需要历史信息。
满足 Markov property 的 RL 任务就称作是 M a r k o v d e c i s i o n p r o c e s s Markov\ decision\ process Markov decision process,简称为 M D P MDP MDP,如果状态和行为空间都是有限的,那么就称为是 f i n i t e M a r k o v d e c i s i o n p r o c e s s finite\ Markov\ decision\ process finite Markov decision process,简称为 f i n i t e M D P finite\ MDP finite MDP。Finite MDPs 在 RL 理论中是非常重要的。
对一个 Markon 的状态 s s s 和下一个状态 s ′ s\prime s′,状态转移概率( s t a t e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y state transition\ probability statetransition probability)定义为:
P s s ′ = P [ S t + 1 = s ′ ∣ S t = s ] {\mathcal{P}}_{ss\prime }=P[S_{t+1}=s\prime|S_t=s] Pss′=P[St+1=s′∣St=s]
状态转移矩阵( S t a t e t r a n s i t i o n m a t r i x State\ \ transition\ matrix State transition matrix) P {\mathcal{P}} P 定义了从所有状态 s s s 到所有可能的下一个状态 s ′ s\prime s′ 的转移概率,可以写作为:
显然矩阵的每一行的和为1。
对于一个特定的 finite MDP,它是由状态行为集合和环境的 one-step dynamics 定义的,给定状态 s s s 和行为 a a a,下一个可能的状态 $s\prime $ 和奖励 r r r 对的概率为:
p ( s ′ , r ∣ s , a ) ≐ P r { S t + 1 = s ′ , R t + 1 = r ∣ S t = s , A t = a } ( 2 ) p(s\prime,r|s,a)\doteq Pr\{S_{t+1}=s\prime, R_{t+1}=r| S_t=s, A_t=a\}\ \ \ \ \ \ \ \ (2) p(s′,r∣s,a)≐Pr{St+1=s′,Rt+1=r∣St=s,At=a} (2)
这个等式完全定义了一个 finite MDP 的动态性,之后的理论基本都是建立在假设环境是 finite MDP 的基础上的。
有了等式(2),就可以计算我希望知道的很多量,如:
state-action 对的期望 rewards 为:
r ( s , a ) ≐ E [ R t + 1 ∣ S t = s , A t = a ] = ∑ r ∈ R r ∑ s ′ ∈ S p ( s ′ , r ∣ s , a ) r(s,a)\doteq E[R_{t+1}| S_t=s, A_t=a] =\sum_{r\in {\mathcal{R}}}r\sum_{s\prime \in{\mathcal{S}}}{p(s\prime,r|s,a)} r(s,a)≐E[Rt+1∣St=s,At=a]=r∈R∑rs′∈S∑p(s′,r∣s,a)
状态转换概率( s t a t e − t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t i e s state-transition probabilities state−transitionprobabilities)为:
p ( s ′ ∣ s , a ) ≐ P r { S t + 1 = s ′ ∣ S t = s , A t = a } = ∑ r ∈ R p ( s ′ , r ∣ s , a ) p(s\prime|s,a) \doteq Pr\{S_{t+1}=s\prime | S_t=s, A_t=a\}=\sum_{r\in {\mathcal{R}}}{p(s\prime,r|s,a)} p(s′∣s,a)≐Pr{St+1=s′∣St=s,At=a}=r∈R∑p(s′,r∣s,a)
state-action-next-state这个三元组合对应的期望 rewards 为:
r ( s , a , s ′ ) ≐ E [ S t = s ∣ S t = s , A t = a , S t + 1 = s ′ ] = ∑ r ∈ R r p ( s ′ , r ∣ s , a ) p ( s ′ ∣ s , a ) r(s,a,s\prime) \doteq E[S_t=s | S_t=s, A_t=a, S_{t+1}=s\prime] = \frac{\sum_{r\in {\mathcal{R}}}{rp(s\prime,r|s,a)}}{ p(s\prime|s,a)} r(s,a,s′)≐E[St=s∣St=s,At=a,St+1=s′]=p(s′∣s,a)∑r∈Rrp(s′,r∣s,a)
对 finite MDP 来说, t r a n s i t i o n g r a p h transition\ graph transition graph 是一种总结其动态性的有效方式,比如下图所示,其中大的空心圆圈代表的是状态节点( s t a t e n o d e s state\ nodes state nodes ),圈圈中字是状态的名称,而小的实心的圆圈代表的是行为节点( a c t i o n n o d e s action\ nodes action nodes ),小圆圈旁边的字代表的是执行的行为,每条带箭头的线代表的是在状态 s s s 下选择行为 a a a 后转换到下一个状态 s ′ s\prime s′ 的概率 p ( s ′ ∣ s , a ) p(s\prime|s,a) p(s′∣s,a) 和相应的回报值 r ( s , a , s ′ ) r(s,a,s\prime) r(s,a,s′)。
在RL问题中, v a l u e f u n c t i o n value\ function value function 是一个重要的概念,几乎所有的 RL 算法都需要计算它,value function 是对 agent 的状态的评价,或者是对 state-action 对的评价,考虑到 agent 的 goal,不难想到这种评价一定是基于对未来期望的 rewards 的评价,当然,这种对未来期望的 rewards 依赖于 agent 选择的行为以及依据的 policy。
这里还按照之前的符号定义,令 π \pi π 代表 policy,即它是从每个状态 s s s 向每个行为 a a a 的映射, π ( a ∣ s ) \pi(a|s) π(a∣s) 代表在状态 s s s 下执行行为 a a a 的概率,则在规则 π \pi π 下状态 s s s 的 v a l u e value value 就用 v π ( s ) v_{\pi}(s) vπ(s) 来表示,它表示从状态 s s s 开始一直遵从规则 π \pi π 的期望 return,对于MDPs,可以得到:
v π ( s ) ≐ E π [ G t ∣ S t = s ] = E π [ ∑ k = 0 ∞ γ k R t + k + 1 ∣ S t = s ] v_{\pi}(s) \doteq {\Bbb E}_{\pi}[G_t|S_t=s]= {\Bbb E}_{\pi}[\sum_{k=0}^{\infty}{\gamma_kR_{t+k+1}}|S_t=s] vπ(s)≐Eπ[Gt∣St=s]=Eπ[k=0∑∞γkRt+k+1∣St=s]
其中, E π [ ⋅ ] {\Bbb E}_{\pi}[\cdot] Eπ[⋅] 指的是给定规则 π \pi π 下随机变量的期望值,并且时间 t t t 是个任意值,通常将函数 v π v_\pi vπ 称为是 s t a t e − v a l u e f u n c t i o n f o r p o l i c y π state-value\ function\ for\ policy\ \pi state−value function for policy π。
相似的就可以定义在规则 π \pi π 和状态 s s s 下选择行为 a a a 的 value 值,用符号 q π ( s , a ) q_\pi(s,a) qπ(s,a) 来表示,它表示的而是从状态 s s s 开始一直遵从规则 π \pi π,在状态 s s s 下选择行为 a a a 的期望 return,因此有:
q π ( s , a ) ≐ E π [ G t ∣ S t = s , A t = a ] = E π [ ∑ k = 0 ∞ γ k R t + k + 1 ∣ S t = s , A t = a ] q_{\pi}(s,a) \doteq {\Bbb E}_{\pi}[G_t|S_t=s, A_t=a] = {\Bbb E}_{\pi} [\sum_{k=0}^{\infty}{\gamma_kR_{t+k+1}}|S_t=s, A_t=a] qπ(s,a)≐Eπ[Gt∣St=s,At=a]=Eπ[k=0∑∞γkRt+k+1∣St=s,At=a]
通常将函数 q π q_\pi qπ 称为是 a c t i o n − v a l u e f u n c t i o n f o r p o l i c y π action-value\ function\ for\ policy\ \pi action−value function for policy π。
通常函数 v π v_\pi vπ 和 q π q_\pi qπ 是从经验中估计得到的,常用的是取平均的方法,当处于状态 s s s 的次数或者在状态 s s s 下执行行为 a a a 的次数趋于无穷时,平均值就可以收敛到 v π ( s ) v_\pi(s) vπ(s) 或者 q π ( s , a ) q_\pi(s,a) qπ(s,a),因为这种方法是对真实返回值的许多次随机样本进行平均,因此称这种方法为 M o n t e C a r l o m e t h o d s Monte\ Carlo\ methods Monte Carlo methods,这种方法之后也会再详细介绍。
在RL和动态编程(dynamic programming)中使用的 value function 具有一个重要的属性,即它们满足一种递归关系。对于规则 π \pi π 和状态 s s s,状态 s s s 的 value 和他之后的状态的 value 满足下面的等式关系:
其中最后一个等式为:
v π ( s ) ≐ ∑ a π ( a ∣ s ) ∑ s ′ , r p ( s ′ , r ∣ s , a ) [ r + γ v π ( s ′ ) ] , ∀ s ∈ S ( 3 ) v_{\pi}(s) \doteq \sum_a\pi(a|s)\sum_{s\prime,r}{p(s\prime,r|s,a)[r+\gamma v_{\pi}(s\prime)]},\ \ \forall s\in {\mathcal{S}}\ \ \ \ \ \ \ \ (3) vπ(s)≐a∑π(a∣s)s′,r∑p(s′,r∣s,a)[r+γvπ(s′)], ∀s∈S (3)
其中 a ∈ A ( s ) a\in{\mathcal{A}}(s) a∈A(s), s ′ ∈ S s\prime \in{\mathcal{S}} s′∈S,公式(3) 称作是 v π v_{\pi} vπ 的 B e l l m a n e q u a t i o n Bellman\ equation Bellman equation,还有一个重要的概念是 b a c k u p d i a g r a m s backup\ diagrams backup diagrams,如下图的(a)所示,其中每个空心圆代表一个状态,每个实心圆代表一个 state-action 对,最初的状态即 root node 位于最上面,在每个状态 s s s 下,agent 可以从多个 action 中选择,每对 ( s , a ) (s,a) (s,a) 都会以一定的概率转化到状态 s ′ s\prime s′ 并伴随有回报值 r r r。
结合 b a c k u p d i a g r a m s backup\ diagrams backup diagrams,就可以更好的理解 B e l l m a n e q u a t i o n Bellman\ equation Bellman equation,从公式(3)可以看出,它对所有的可能情况进行了平均,并且每个部分的权重为它发生的概率。这种图之所以称作是 b a c k u p d i a g r a m s backup\ diagrams backup diagrams,是因为它表达出了 RL 方法中 update 和 b a c k u p backup backup 操作的基础,这些操作将 value 信息从下一个状态(或下一个 state-action 对) b a c k back back 到了当前的状态(或state-action 对)。
解决RL任务,就是找到一种 policy 来获得最大的长远 reward,对于有限的MDPs,可以精确地定义一种优化的规则,上面介绍的 value function 定义了 policies 之间的一种偏序关系,因此可以利用它来定义 o p t i m a l p o l i c y optimal\ policy optimal policy:
定义规则 π \pi π 与 规则 π ′ \pi\prime π′ 相比更好或者相当是指,对所有的状态规则 π \pi π 的期望 return 都比 规则 π ′ \pi\prime π′ 的大或者相等。即:
π ≥ π ′ ⇔ v π ( s ) ≥ v π ′ ( s ) ∀ s ∈ S \pi \geq \pi\prime \Leftrightarrow v_\pi(s) \geq v_\pi\prime (s)\ \ \ \forall s\in{\mathcal{S}} π≥π′⇔vπ(s)≥vπ′(s) ∀s∈S
则 o p t i m a l p o l i c y optimal\ policy optimal policy 指的就是比其他所有 policies 都好或者相当的规则,用符号 π ∗ \pi_{\ast} π∗ 来表示。
同样地,也可以定义 o p t i m a l s t a t e − v a l u e f u n c t i o n optimal\ state-value\ function optimal state−value function,用符号 v ∗ v_{\ast} v∗ 来表示,定义式为:
v ∗ ≐ m a x π v π ( s ) ∀ s ∈ S v_{\ast} \doteq max_\pi{v_\pi(s)}\ \ \ \ \forall s\in{\mathcal{S}} v∗≐maxπvπ(s) ∀s∈S
优化的 policies 也具有相同的 o p t i m a l a c t i o n − v a l u e f u n c t i o n optimal\ action-value\ function optimal action−value function,用 q ∗ q_{\ast} q∗ 来表示,定义式为:
q ∗ ( s , a ) ≐ m a x π q π ( s , a ) ∀ s ∈ S , ∀ a ∈ A ( s ) q_{\ast}(s,a) \doteq max_\pi{q_\pi(s,a)}\ \ \ \ \forall s\in{\mathcal{S}},\forall a\in{\mathcal{A}}(s) q∗(s,a)≐maxπqπ(s,a) ∀s∈S,∀a∈A(s)
对于 state-action 对 ( s , a ) (s,a) (s,a),该函数给出了在状态 s s s 下执行 a a a 的期望 return,因此可以将 q ∗ q_{\ast} q∗ 用 v ∗ v_{\ast} v∗ 来表示:
q ∗ ( s , a ) ≐ E [ R t + 1 + γ v ∗ ( S t + 1 ) ∣ S t = s , A t = a ] q_{\ast}(s,a) \doteq {\Bbb E}[R_{t+1}+\gamma v_{\ast}(S_{t+1})|S_t=s,A_t=a] q∗(s,a)≐E[Rt+1+γv∗(St+1)∣St=s,At=a]
上一小节介绍了优化的 value function和优化的 policies,但在真实情况中,即使拥有了环境动态性完整的精确的模型,也很难简单地求解 Bellman优化方程计算出优化的 policy。并且,当状态和行为集合很大时,也会需要非常大的内存,因此可用的内存也是直接求解的一个限制因素。解决这个的问题的办法就是采用近似的求解方法。
参考文献
[1] Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto
[2] UCL Course on RL