传送门.
给出n,m,a,b
要求生成一棵有标号有边权的n个点的树,边权∈[1…m]
是a->b的距离=m
问方案数,对1e9+7取模。
n,m<=10^6
很容易想到枚举a,b之间的边数设为x,然后开始统计:
首先要选x-1个点出来, P ( n − 2 , x − 1 ) P(n-2,x-1) P(n−2,x−1)
边的和为m,挡板问题(stars and bars method), C ( m − 1 , x − 1 ) C(m-1,x-1) C(m−1,x−1)
其它的边随意, m n − 1 − x m^{n-1-x} mn−1−x
现在的问题在于如何统计树的个数。
问题大概如下,n个点,形成x+1个有标号森林的方案数,1-x+1属于不同的树。
扩展Cayley公式:
设F(n,m)表示n个点,形成m个有标号森林的方案数,1-m属于不同的树, F ( n , m ) = m ∗ n n − 1 − m F(n,m)=m*n^{n-1-m} F(n,m)=m∗nn−1−m,当m=1时即为普通的Cayley公式。
翻到一篇论文:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316590900644?via%3Dihub
原理是利用了prufer序列。
prufer序列在之前证明Cayley公式时提过,见:https://blog.csdn.net/Cold_Chair/article/details/80900724
式子类似,感觉可以继续推导出公式,不过有些跳步,导致有点没懂。
#include
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)
using namespace std;
const int mo = 1e9 + 7;
ll ksm(ll x, ll y) {
ll s = 1;
if(y < 0) x = ksm(x, mo - 2), y = -y;
for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
if(y & 1) s = s * x % mo;
return s;
}
const int N = 1e6 + 5;
int n, m, a, b;
ll fac[N], nf[N], ans;
ll P(int n, int m) {
if(n < m) return 0;
return fac[n] * nf[n - m] % mo;
}
ll C(int n, int m) {
if(n < m) return 0;
return fac[n] * nf[m] % mo * nf[n - m] % mo;
}
int main() {
n = 1e6;
fac[0] = 1; fo(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i % mo;
nf[n] = ksm(fac[n], mo - 2); fd(i, n, 1) nf[i - 1] = nf[i] * i % mo;
scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &a, &b);
fo(x, 1, n - 1) ans += P(n - 2, x - 1) * C(m - 1, x - 1) % mo * ksm(m, n - 1 - x) % mo * ksm(n, n - 1 - (x + 1)) % mo * (x + 1) % mo;
printf("%I64d", ans % mo);
}