CodeForces1109D Sasha and Interesting Fact from Graph Theory（扩展Cayley公式）

传送门.

题目翻译：

给出n,m,a,b
要求生成一棵有标号有边权的n个点的树，边权∈[1…m]
是a->b的距离=m

问方案数，对1e9+7取模。

n,m<=10^6

题解：

很容易想到枚举a,b之间的边数设为x，然后开始统计：

首先要选x-1个点出来，$P(n-2,x-1)$
边的和为m，挡板问题（stars and bars method），$C(m-1,x-1)$
其它的边随意，$m^{n-1-x}$

现在的问题在于如何统计树的个数。

问题大概如下，n个点，形成x+1个有标号森林的方案数,1-x+1属于不同的树。

扩展Cayley公式：
设F(n,m)表示n个点，形成m个有标号森林的方案数，1-m属于不同的树，$F(n,m)=m\ast n^{n-1-m}$，当m=1时即为普通的Cayley公式。

翻到一篇论文：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0097316590900644?via%3Dihub

重点是翻到了一位比赛时自己推出公式的大牛：

原理是利用了prufer序列。

prufer序列在之前证明Cayley公式时提过，见：https://blog.csdn.net/Cold_Chair/article/details/80900724

式子类似，感觉可以继续推导出公式，不过有些跳步，导致有点没懂。

#include
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)
using namespace std;

const int mo = 1e9 + 7;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll s = 1;
	if(y < 0) x = ksm(x, mo - 2), y = -y;
	for(; y; y /= 2, x = x * x % mo)
		if(y & 1) s = s * x % mo;
	return s;
}

const int N = 1e6 + 5;

int n, m, a, b;
ll fac[N], nf[N], ans;

ll P(int n, int m) {
	if(n < m) return 0;
	return fac[n] * nf[n - m] % mo;
}

ll C(int n, int m) {
	if(n < m) return 0;
	return fac[n] * nf[m] % mo * nf[n - m] % mo;
}

int main() {
	n = 1e6;
	fac[0] = 1; fo(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i % mo;
	nf[n] = ksm(fac[n], mo - 2); fd(i, n, 1) nf[i - 1] = nf[i] * i % mo;
	scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &a, &b);
	fo(x, 1, n - 1) ans += P(n - 2, x - 1) * C(m - 1, x - 1) % mo * ksm(m, n - 1 - x) % mo * ksm(n, n - 1 - (x + 1)) % mo * (x + 1) % mo;
	printf("%I64d", ans % mo);
}