海明校验码详解

什么是海明码（提出者Richard Hamming ）
海明码是一种多重（复式）奇偶检错系统，用于检错和纠错。
如何确定校验码
其实计算海明校验码的值只需三步：

• 对于原始数据信息位m，计算得出需要的k位校验码

  • 如何确定最小的校验位数$k$
    假设原有信息为$m$位，则和校验位加起来长度有$m+k$.校验位数k可以确定 $2^k $个状态,这些状态中必有一个其所有奇偶测试都是真的，于是剩下$2^k-1$ 种状态。所以通过$$2^k-1>=m+k$$ 可以算出$k$
    如原始信息为0110 1110 8位 $$2^k-1>=8+k$$导出$$k=4$$

• 海明校验码是放在2的幂次位上的，如 1，2，4，8，16…等

• 计算校验码

来一波例子，假设原始信息为

位置	1	2	3	4	5	6	7	8
原始信息位	0	1	1	0	1	1	1	0

第一步

	 计算出K=4

第二步

	确定校验码的位置在1 ，2 ，4，8位置上

则新的信息位：

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
新的信息位	H1	H2	0	H4	1	1	0	H8	1	1	1	0

第三步

计算校验位的值，也是最为关键的一步

位置	二进制码
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100

海明码	出现的位置	对应位置上的值异或	结果
H1	3，5，7，9，11	0⊕1⊕0⊕1⊕1	1
H2	3，6，7，10，11	0⊕1⊕0⊕1⊕1	1
H4	5，6，7，12	1⊕1⊕0⊕0	0
H8	9，10，11，12	1⊕1⊕1⊕0	1

最终的信息位为

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
最终信息位	1	1	0	0	1	1	0	1	1	1	0	0

接收端如何检验和纠错呢
假设 信息传输前1100 1101 1100 -->传输后1110 1101 1100

则S4：H1⊕1⊕1⊕0⊕1⊕1=1⊕1⊕1⊕0⊕1⊕1=1
则S3：H2⊕1⊕1⊕0⊕1⊕1=1⊕1⊕1⊕0⊕1⊕1=1
则S2：H4⊕1⊕1⊕0⊕0=0⊕1⊕1⊕0⊕0=0
则S1：H8⊕1⊕1⊕1⊕0=1⊕1⊕1⊕1⊕0=0

计算出错处的位数

s1s2s3s4:0011 即为第三位传输出错