【群论相关】Burnside引理&Polya定理
文章目录
- 群
- 置换
- 不动点&等价类
- Burnside引理
- Polya定理
- 例题
- [poj2154-Color](http://poj.org/problem?id=2154)
- [bzoj1478: Sgu282 Isomorphism](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1478)
- 引用
群
由一个集合 G G G和一个运算 ⋅ · ⋅ 构成，运算过程即为集合中任何两个元素 a , b a,b a,b， a ⋅ b a·b a⋅b的过程，运算 ⋅ · ⋅为具体给出的任意一种可行的运算，需要满足群公理的四个要求:
- 封闭性： ∀ a , b ∈ G , ∃ c ∈ G , a ⋅ b = c \forall a,b\in G,\exists c\in G,a·b=c ∀a,b∈G,∃c∈G,a⋅b=c
- 结合律： ∀ a , b , c ∈ G , ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) \forall a,b,c\in G,(a·b)·c=a·(b·c) ∀a,b,c∈G,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
- 单位元： ∃ e ∈ G , ∀ a ∈ G , a ⋅ e = e ⋅ a = a \exists e\in G,\forall a\in G,a·e=e·a=a ∃e∈G,∀a∈G,a⋅e=e⋅a=a
- 逆元： ∀ a ∈ G , ∃ b ∈ G , a ⋅ b = b ⋅ a = e ， 记 b = a − 1 \forall a\in G,\exists b\in G,a·b=b·a=e，记b=a^{-1} ∀a∈G,∃b∈G,a⋅b=b⋅a=e，记b=a−1
置换
下面是一个置换，
( 1 2 3 . . . n a 1 a 2 a 3 . . . a n ) \begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & ... & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_n \end {pmatrix} (1a12a23a3......nan)
将群的运算(即基本变换方式)用 f : a i ( 1 ≤ i ≤ n ) ( n 为 G 中 元 素 个 数 , a i 互 不 相 同 , a i ∈ { 1 , 2 , . . . , n } ) f:a_i(1\leq i\leq n)(n为G中元素个数,a_i互不相同,a_i\in \{ 1,2,...,n\}) f:ai(1≤i≤n)(n为G中元素个数,ai互不相同,ai∈{1,2,...,n})表示。具体置换为把初状态 ( 1 , 2 , 3 , . . . , n ) (1,2,3,...,n) (1,2,3,...,n)的任意排列，用 a i a_i ai替代 i i i(设序列第 x x x个位置上的元素为 i i i，替代后序列上第 x x x个位置上的元素为 a i a_i ai)而得到新的一种排列，以上变换即为置换。
同样也可以看做置换 f : a i f:a_i f:ai分解成若干个不相关的循环组，每个循环组内的元素构成一个环，每个环上的元素都可以移动到下一个环上的位置而回到初始状态( i − > a i , a i − > a a i , . . . , − > i i->a_i,a_i->a_{a_i},...,->i i−>ai,ai−>aai,...,−>i)，也就是集合的一一映射关系。群则将置换的过程中元素的位置变换转化成了运算，用数学符号表示出来。
将置换看做群的运算方式，一个封闭群即为一个置换群。
不动点&等价类
设存在一种群内元素的排列方式 q i q_i qi，使得经过置换 f : a i f:a_i f:ai后的排列与原来相同( i = a i = a a i = . . . = i i=a_i=a_{a_i}=...=i i=ai=aai=...=i)。则 q i q_i qi这种排列方式的状态是 f : a i f:a_i f:ai置换的不动点。
等价类即是定义一种等价关系，一个状态若可以通过特定的置换得到另一个状态，则这两个状态是等价的，同属一个等价类。
一些题目中“求本质不同的方案”，就是求等价类个数。
Burnside引理
设置换 g : a i g:a_i g:ai的在可行的染色方案中的不动点个数为 C ( g ) C(g) C(g)， G G G为 ∣ G ∣ |G| ∣G∣个不同的置换群的集合，则等价类个数为：
1 ∣ G ∣ ∑ i = 1 ∣ G ∣ C ( g i ) \frac 1 {|G|}\sum _{i=1} ^{|G|}C(g_i) ∣G∣1i=1∑∣G∣C(gi)
举个例子：
假设给正方形棋盘染黑白两色，轴对称同构，求本质不同方案数。
那么需要考虑：
- 水平对称 2.纵向对称 3.左上->右下斜对角线对称 4.右上->左下斜对角线对称
这四种置换，也就是四个置换群，分别求不动点个数即可。
Polya定理
B u r n s i d e Burnside Burnside引理需要枚举所有置换的情况来求不动点，复杂度太高，于是引入 P o l y a Polya Polya定理来更简捷地求置换群的不动点个数。
之前提到了可以将置换 f : a i f:a_i f:ai分解成若干个循环组，考虑对于不动点来说，每个循环组中的元素的状态(颜色)必须完全一致，而不同循环组之间互不相关。因此对于置换 f : a i f:a_i f:ai，有 x x x种可选的颜色，循环组个数为 k k k， C ( f ) = x k C(f)=x^{k} C(f)=xk，更新 B u r n s i d e Burnside Burnside引理的式子，得到等价类个数为：
1 ∣ G ∣ ∑ i = 1 ∣ G ∣ x i k i \frac 1{|G|}\sum_{i=1} ^{|G|}x_i^{k_i} ∣G∣1i=1∑∣G∣xiki
还是上面的例子，这时只需要观察求出不动点个数即可，一般来说题目中所求的不动点都有一些特殊的规律和性质，以保证快速求出。
例题
poj2154-Color
用 N N N种颜色染一条长度为 N N N的项链，旋转同构，求本质不同方案数。
观察规律发现对于旋转 1 , . . . , n 1,...,n 1,...,n次的不同置换而言，循环组个数即为 g c d ( n , i ) gcd(n,i) gcd(n,i)。
再套用 B u r n s i d e Burnside Burnside引理, P o l y a Polya Polya定理，等价类个数为：
∑ 1 n n g c d ( n , i ) \sum_1^nn^{gcd(n,i)} 1∑nngcd(n,i)
= ∑ d ∣ n n d ∑ i = 1 n d [ g c d ( i , n d ) = 1 ] =\sum_{d|n} n^d \sum_{i=1} ^{\frac n d}[gcd(i,\frac n d)=1] =d∣n∑ndi=1∑dn[gcd(i,dn)=1]
= ∑ d ∣ n n d ϕ n d =\sum _{d|n} n^d \phi \frac n d =d∣n∑ndϕdn
这样就可以 O ( n × log n ) O(\sqrt n\times \log n) O(n×logn)计算了，没有考虑求 ϕ d \phi d ϕd的复杂度，似乎远小于 d \sqrt d d？
代码
#include用 m a p map map会 W A WA WA， p o j poj poj交 # i n c l u d e < b i t s / s t d c + + . h > \# include<bits/stdc++.h> #include<bits/stdc++.h>会 C E CE CE，每次做 p o j poj poj都会先 C E CE CE多次…
bzoj1478: Sgu282 Isomorphism
题解
算是一个非常巧妙的运用了。
引用
- 知乎:如何直观地理解群论？
- Burnside引理与Polya定理-byQAQqwe
- 初涉OI中的群论(Burnside引理和Polya定理)-bylitble
以上写的都非常清晰易懂，总之比我写的好多啦。