【Atcoder】AGC005 C-F简要题解

C.Tree Restoring

首先找到直径$L$，设$x=\lceil \frac{L}{2}\rceil$。

$(x,L]$的数都至少有2个，$<x$的不存在。
$L$为奇数时，$x$有且仅有2个；为偶数时，$x$有且仅有1个。

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D.~K Perm Counting

考虑容斥，令$g_i$表示至少有$i$个点不合法的方案数。

$ans=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{g}_i(n-i)!$。

关键在于如何求$g_i$(没想出来，zz了)，由于每个位置最多只有2个权值不合法，考虑构造二分图，左边点表示位置，右边点表示权值。

可以发现图上的边是一条条链(且这$2n$个点都在且仅在一条链上)。

考虑把这些链首尾相连，$dp[i][j][0/1]$表示处理到第$i$个点，已经选了$j$条不和法的边，$i$点是否与$i-1$相连的方案数。

$dp[i][j][0]=dp[i-1][j][0]+dp[i-1][j][1]$
若当前点不是某条链的结尾，$dp[i][j][1]=dp[i-1][j-1][0]$

设总链长为$m$，则$g[i]=f[m][i][0]+f[m][i][1]$

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E.Sugigma: The Showdown

若红树上某一条边的两个端点在蓝树上距离$>2$，则若先手到达了这两个端点之一，就必胜。

建出以后手为根的蓝树，删去红树上所有满足上面条件的边，并对这些端点打上标记，建出红树。

此时，由于红树上任意边的两个端点在蓝树上距离$\le 2$，所以若后手点在蓝树中所有先手点到标记点的路径上，则后手必胜。此时让先手到子树最深点呆着即可。

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F.Many Easy Problems

容斥考虑一个点对所有$an{s}_k$的贡献：
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)-\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{a_i}\right)$
$a_i$表示以$i$为根时$i$的每个儿子结点的子树大小。

发现对于$an{s}_k$，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$被算了$n$次，每条边两端的子树$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{sz}{k}\right)$被算了一次。

设$b_n=n,b_i=大小为i的子树个数(i̸=n)$

$an{s}_k=\sum _{i=k}^n{b}_i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)$
$=\frac{1}{k!}\sum _{i=k}^n{b}_{i}i!\frac{1}{(i-k)!}$

设$A(x)=\sum b_{n-i}(n-i)!x^i,B(x)=\frac{1}{i!}{x}^i$
$C=A\ast B\to an{s}_k=\frac{n-k}{k!}$

一遍NTT即可