【Atcoder】AGC016 C-F简要题解

*C.+/- Rectangle

$h,w$分别整除$H,W$时无解。

否则任意取一个$d(d\le 4000)$且$d$尽量大，比如$d=3000$，在每一个$(ih,jw)$位置填上$-(hw-1)d-1$，其余位置填$d$。

这样满足每个$hw$子矩阵和为$-1$，且总和$>0$

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D.XOR Replace

在序列$a$后面加一个$a_{n+1}=a_{1}xor{a}_{2}xor...xor{a}_n$，$b$同理。

问题转化为：
定义一次操作为$a_{n+1}$与任意$a_i(1\le i\le n)$交换，求最少操作次数使得操作后$a_i=b_i(1\le \le n+1)$

只考虑$a_i̸=b_i$的位置，类似于置换问题，离散化权值后$a_i\to b_i$连边。

$ans=$总边数+连通块个数-1

正确性：
考虑一个连通块内相当于边数条置换，最少操作次数即边数——每次将一条边的终点放在$a_{n+1}$，去与这条边的起点位置交换，$a_{n+1}$变成了这条边的起点，同时又是下一条边的终点…

不同连通块之间的转换还需要多一次的操作。

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*E.Poor Turkeys

妙，倒序考虑：

$x$能一直活下去的条件必然是在所有与它有关的选择$(x,y)$中都是$y$挂了，同时也意味着$y$在这轮之前都不能挂，也就是说之前和它有关的所有选择$(y,x^{\prime })$都是$x^{\prime }$挂了…

不断推下去，发现因为$n\le 400$所以可以对于每个乌龟维护一个不能挂的集合$b{z}_i$(集合里除$i$以外的点都需要在指定的轮时挂)，倒着遍历一遍操作，如果有一次选项中两端都不能挂，那么这个点肯定活不到最后。

最后$n^2$枚举点对$(x,y)$，首先这两个点都必须能够活到最后，然后在判断这个它们的不挂集合是否有交集，有交集表示一个乌龟挂了两次，当然误解了。

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*F.Games on DAG

$sg\to mex\to$分层状压转移（枚举子集）

问题本质上就是求$G^{\prime }$满足$s{g}_{1}xors{g}_2̸=0$的个数。

补集转化，求$s{g}_1=s{g}_2$的方案数，因为是$sg$游戏，所以可以枚举$mex$：

设$d{p}_s$表示点集$s$($1,2\in s$或$1,2\notin s$)的方案数，枚举子集$T$，设$T$关于$s$的补集为$U$。假设$U$集合$sg=0$，$T$集合$sg>0$，考虑转移：

$U$集合内部无连边
$U\to T$随意连边
$T$中每个点到$U$至少有一条连边
$T$内部的方案数=$d{p}_T$

转移意义相当于多了一层$U$使得原本$T$集合的所有点$sg$值整体+1。