【Atcoder】AGC029 B-F简要题解

*B.Powers of two

日常想到二分图匹配匈牙利
考虑$x+y=2^t$，则$\max (x,y)\ge 2^{t-1}$，所以$x$能匹配上的$\le$它的数是唯一的。
对于数$x$找到$>$它的最小的$2^t$，能与它匹配的$\le$它的数就是$2^t-x$，贪心从大往小取即可。
(类似于树形结构，所有点父边是唯一的，贪心从叶子开始选)

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C.Lexicographic constraints

想了一个每次按区间$a_i$最小值划分讨论的算法。

实际上二分答案即可。

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D.Grid game

分析(把边界也看做障碍)：

• 先手每次都必须移动
• 假设已经进行了$x$轮且都不能结束，若下一行$[1,x+1]$列中有障碍，游戏就结束了

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*E.Wandering TKHS

把$1$作为根。

考虑点$x$拓展到$1$的过程，在未访问点中最小的为$f{a}_x$之前，显然所有$y\in subtre{e}_x$，且$(x,y)$路径上不存在$\ge f{a}_x$的点$y$都会被遍历到。

设点$x$到根过程中遍历的点集为$S_x$，发现$S_x$至于$1\to x$路径中的所有前缀最大值的$S$有关，设点$x$到根路径最大值为$m{x}_x(m{x}_x̸=x)$，显然$S_{m{x}_x}\subseteq S_{m{x}_x}$，按$D_x=S_x-S_{m{x}_x}$进行差分:

• $D_x$为所有$x$可达的$<m{x}_x$的点
• 若$x>m{x}_x$，在计算$y\in subtre{e}_z,z\in so{n}_x$，且$u{p}_y=x$时，因为$D_y$包含所有$y$可达的$<x$的点，与$D_x$存在交集，所以多记一个$E_z$表示这个交集($z$子树内所有$(z\to y)<m{x}_x$的点）。
• 可以从$1-n$加入点，并查集维护每个连通块。最后一遍求前缀和即$S_x+=S_{m{x}_x}+D_x-E_z(z\in so{n}_{m{x}_x},x\in subtre{e}_z)$

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*F.Construction of a tree

$10^5$网络流…

设$1$为根，第$i$个集合选出的边为$(x_i,f{a}_{x_i})$，$x_i$是一个$[2,n]$的排列，考虑网络流求出任意一组$x_i$的安排。
$f{a}_{x_i}$的解可以贪心构造：初始将$1$加入队列，若某个集合$i$中有$1$，则设$f{a}_{x_i}=1$，并
将$x_i$加入队列。
若无解，则必然存在某一步，队列中所有点与剩下未访问$x_i$不连通——这时无法将未访问集合和队列中的点所在集合的$x_i$互换，因为不存在未访问集合中不存在队列中的所有点，且始终无法连出父边——所以不存在其他$x_i$的安排方式使其有解，任意求一组$x_i$即可。