【模板】弦图判定&最小染色(MCS)

弦图与区间图总结-DZYO（定义）
弦图 完美消除序列 MCS算法（代码）

省选前为什么要开这种奇奇怪怪的知识点
具体定义和证明较略，主要记录实现方法。

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定义

弦就是连接环上两个不相邻点的边。弦图满足图中任意长度>3的环都至少有一个弦(递归下去就是一个三角剖分的图)

单纯点：
点$v$是单纯点当且仅当$v$和其相邻的点集$N(v)$构成的原图的诱导子图是完全图。

性质

普通图：
最大团数$\le$最小色数
最大独立集$\le$最小团覆盖

弦图：
最大团数=最小色数
最大独立集=最小团覆盖

完美消除序列：
原图的一个点序列$v_1,v_2,...,v_n$(每个点都出现恰好一次)，满足$v_i$在$v_i,v_{i+1},...,v_n$的诱导子图中为一个单纯点。

定理：一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列。

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判定

由定理：“一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列”。
考虑求出一个序列并验证其是否为完美消除序列。

最大势算法MCS

倒序求出$v_n,...,v_1$(逐个标出$n-1$)，设$f_i$表示点$i$与多少个已标号点相邻，每次选$f_i$最大的未标号点标号。

验证是否为完美消除序列：

设$v_{i+1},...,v_n$中与$v_i$相邻的下标最小($v$中排列最靠前)点为$v_j$，只需要判断$v_j$是否与其后所有与$v_i$相邻的点相邻即可。

复杂度$O(n+m)$
$n$比较小时，可以邻接矩阵判边的存在性。

//bzoj1242 Zju1015 Fishing Net弦图判定
#include
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=1010,M=4e6+10;

int n,m,g[N][N],q[N],f[N],rk[N];
int head[N],to[M],nxt[M],tot;
vector<int>nt[N];bool vs[N];

inline void lk(int u,int v)
{to[++tot]=v;nxt[tot]=head[u];head[u]=tot;}

void MSC()
{
	int i,j,x,y,bst=0;
	for(i=1;i<=n;++i) lk(0,i);
	for(j=n;j>0;--j){
		for(;;){
			for(int &i=head[bst];i;i=nxt[i])
				if(!vs[to[i]]) break;
			if(head[bst]){
				x=to[head[bst]];q[j]=x;rk[x]=j;vs[x]=true;
				for(i=nt[x].size()-1;i>=0;--i) if(!vs[nt[x][i]]){
					y=nt[x][i];f[y]++;lk(f[y],y);
					bst=max(bst,f[y]);
				}
				break;
			}else bst--;
		}
	}
}

int stk[N],top;

bool ck()
{
	int i,j,x,y,mng,mnv;
	for(j=n;j>0;--j){
		x=q[j];top=0;mng=n+1;
		for(i=nt[x].size()-1;i>=0;--i) if(rk[nt[x][i]]>j){
			y=nt[x][i];stk[++top]=y;
			if(rk[y]<mng) mng=rk[y],mnv=y; 
		}
		if(mng==n+1) continue;
		for(i=1;i<=top;++i) if(stk[i]!=mnv)
		 if(!g[mnv][stk[i]]) return false;
	}
	return true;
}

int main(){
	int i,j,x,y;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;++i){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		g[x][y]=g[y][x]=1;
		nt[x].pb(y);nt[y].pb(x);
	}
	MSC();
	if(ck()) printf("Perfect");
	else printf("Imperfect");
	return 0;
}

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最小染色

同样MCS求出完美消除序列

倒序处理$v_n,...,v_1$的染色，求出最小的没有被$v_i$已染色相邻点($v$中排名比它大)取的颜色$k$，设$col[v_i]=k$即可。

//bzoj1006 [HNOI2008]神奇的国度 弦图最小染色 
#include
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=10010,M=4e6+10;

int n,m,q[N],f[N],ans,col[N],tg[N];
int head[N],to[M],nxt[M],tot;
vector<int>nt[N];bool vs[N];

inline void lk(int u,int v)
{to[++tot]=v;nxt[tot]=head[u];head[u]=tot;}

void MSC()
{
	int i,j,x,y,bst=0;
	for(i=1;i<=n;++i) lk(0,i);
	for(j=n;j>0;--j){
		for(;;){
			for(int &i=head[bst];i;i=nxt[i])
				if(!vs[to[i]]) break;
			if(head[bst]){
				x=to[head[bst]];q[j]=x;vs[x]=true;
				for(i=nt[x].size()-1;i>=0;--i) if(!vs[nt[x][i]]){
					y=nt[x][i];f[y]++;lk(f[y],y);
					bst=max(bst,f[y]);
				}
				break;
			}else bst--;
		}
	}
}

int main(){
	int i,j,x,y;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;++i){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		nt[x].pb(y);nt[y].pb(x);
	}
	MSC();
	for(j=n;j>0;--j){
		x=q[j];
		for(i=nt[x].size()-1;i>=0;--i) tg[col[nt[x][i]]]=x;
		for(i=1;tg[i]==x;++i);col[x]=i;ans=max(ans,i);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}