使用基于邻接表的Dijkstra算法求解Project Euler问题

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Project Euler中的几个问题

　　首先，来看一看 Project Euler上的第81到83题。这几个题目的前提条件是一样的，已知一个 80×80的矩阵(由正整数组成)
　　 81题： Find the minimal path sum, in the 80 by 80 matrix, from the top left to the bottom right by only moving right and down.
　　其意思是： 只允许从上往下或从左到右，找一条从这个矩阵左上角到右下角的路径，使得路径上的数字之和最小。

　　 82题： Find the minimal path sum, in the 80 by 80 matrix, from the left column to the right column,by only moving up, down, and right.
　　该题的意思是： 允许从上到下或从下到上或从左到右移动，找一条从该矩阵最左列到最右列的路径，使得路径上的数字之和最小。

　　 83题： Find the minimal path sum, in the 80 by 80 matrix, from the top left to the bottom right by moving left, right, up, and down.
　　翻译过来就是： 可以上下左右移动，找一条从该矩阵左上角到右下角的路径，使得路径上数字之和最小。

　　这几个题非常类似，都是从一个给定矩阵找一条路径使得上面数字之和最小。只不过移动的方式越来越多，因此可以想象这几个题目的难度也是越来越大。如果对动态规划比较熟悉的话，很容易可以看出81与82题是可以使用动态规划来解决的。只不过81题属于典型的动态规划题，很容易写出代码，而82题稍稍麻烦了一点。
　　不过这里我不谈怎么使用动态规划来解决这些问题，而是转换一下考察问题的角度，将这几个问题转换成图论中经典的“最短路”问题，然后可以使用同样的方法完美解决之。
　　首先， 将80×80的矩阵看成一个80×80个顶点的图，如果能够从矩阵(i,j)移动到(u,v)，则用一条(i,j)到(u,v)的边将这两个顶点连接起来，并且该边的权即为矩阵在(u,v)处的取值。这样，就将一个矩阵转换为一个带权的有向图。并且容易看出，题目中要求的“数字之和最小的路径”对应该有向图的一个“最短路”。这三个题的区别只在于顶点与顶点之间连接的边不一样。


Dijkstra算法与实现

　　图论中关于求“最短路”问题的算法有很多，著名的有Floyd-Warshall算法，Bellman-Ford 算法etc。不过，Floyd-Warshall算法虽然实现简单，但时间复杂度是O(n^3)，而这里n = 80*80 = 6400，使用Floyd-Warshall算法时间上无法接受。另外，这三个题中涉及到的有向图都属于 稀疏图，所以我采用了基于图的邻接表结构的Dijkstra算法，这个实现的时间复杂度是O(e×log e)，其中e表示边的条数。由于这三个题中e = O(v)（v指图的顶点个数），因此最后我们得到了时间复杂度为O(v log v)的解法（这些题中，v = 80*80）。下面是使用Scala实现的Dijkstra算法：

/**
  &#Graph.scala
  utils for graph algorithm
  @author Eastsun
*/
package eastsun.math

object Graph {
    /**
      This is an implementation of Dijkstra's algorithm to find the shortest path for a directed
      graph with non-negative edge weights.
    */
    def dijkstra(size :Int,start :Int,lst :Int=> Iterable[(Int,Int)]):Array[Int] = {
        import java.lang.Integer.{ MAX_VALUE => INF }
        implicit def t2o(t :(Int,Int)) = new Ordered[(Int,Int)]{
            def compare(that :(Int,Int)) = that._2 - t._2
        }
        val pq = new scala.collection.mutable.PriorityQueue[(Int,Int)]
        val dist = Array.make(size,INF)
        val mark = Array.make(size,false)
        pq += start->0
        while(!pq.isEmpty){
            val (idx,dst) = pq.dequeue
            if(!mark(idx)){
                mark(idx) = true
                dist(idx) = dst
                for((i,d) <- lst(idx);if dist(i)>dst+d){
                    dist(i) = dst+d
                    pq += i->dist(i)
                }                
            }
        }
        dist   
    }
}

　　考虑到对Scala熟悉的不多，我简单解释一下上面这段代码。首先，函数

    def dijkstra(size :Int,start :Int,lst :Int=> Iterable[(Int,Int)]):Array[Int] 

有三个参数，其中：
　　　　size　　　 表示要考虑的有向图的阶（也就是顶点个数）
　　　　start　　　 要求的最短路的起始点
　　　　lst　　　　 一个参数为Int返回值为Iterable[(Int,Int)]的函数。lst(k)将返回图的第k个顶点对应的邻接表，邻接表的每个节点保存两个值(idx,dst)。其中idx表示顶点k到顶点idx有一条边，dst表示这条边的权值。
返回值为一个整型数组Array[Int]，该数组保存了最终结果，其长度为size，第k个元素的值表示从顶点start到顶点k的最短距离，如果不能到达，则为Integer.MAX_VALUE。

　　其次，看一下这段代码：

        implicit def t2o(t :(Int,Int)) = new Ordered[(Int,Int)]{
            def compare(that :(Int,Int)) = that._2 - t._2
        }
        val pq = new scala.collection.mutable.PriorityQueue[(Int,Int)]

这段代码的功能是new了一个优先队列pq，该优先队列里面保存的数据类型为(idx,dst)。其中idx为顶点的序号，而dst为距离。并且规定了一个顺序Ordered[(Int,Int)]，使得优先队列保持dst最小的在最上面。
　　可以计算，上面的Dijkstra实现的时间复杂度为O(e log e)。


解题代码
　　有了上面的介绍，下面直接给出Project Euler这几个问题的代码，可以看到，这几个问题的解题代码非常一致（82题略有不同）
81题的解题代码：

import eastsun.math.Graph._
import scala.io.Source._

object Euler081 extends Application {
    val mtx = fromFile("matrix.txt").getLines.map{ line =>
                  line.split(",").map(_.trim.toInt)
              }.toList.toArray
  
    val LEN = mtx.size
    val SIZE = LEN*LEN
    def lst(n :Int):List[(Int,Int)] = {
        val (x,y) = (n/LEN,n%LEN)
        var ls = Nil:List[(Int,Int)]
        if(x < LEN-1) ls = (n+LEN,mtx(y)(x+1))::ls
        if(y < LEN-1) ls = (n+1,mtx(y+1)(x))::ls
        ls
    }
    println(dijkstra(SIZE,0,lst)(SIZE-1)+mtx(0)(0))
}

82题的解题代码：

import scala.io.Source._
import eastsun.math.Graph._

object Euler082 extends Application {
    val mtx = fromFile("matrix.txt").getLines.map{ line =>
                  line.split(",").map(_.trim.toInt)
              }.toList.toArray
    val LEN = mtx.size
    val SIZE = LEN*LEN
    def lst(n :Int):List[(Int,Int)] = {
        val (x,y) = (n/LEN,n%LEN)
        var ls = Nil:List[(Int,Int)]
        if(y > 0)     ls = (n-1,mtx(y-1)(x))::ls
        if(y < LEN-1) ls = (n+1,mtx(y+1)(x))::ls
        if(x < LEN-1) ls = (n+LEN,mtx(y)(x+1))::ls
        ls
    }
    val res = 0.until(LEN).map{ n =>
                  dijkstra(SIZE,n,lst).slice(SIZE-LEN,SIZE).reduceLeft(_ min _)+mtx(n)(0)
              }.reduceLeft(_ min _)
    println(res)
}

83题的解题代码：

import scala.io.Source._
import eastsun.math.Graph._

object Euler083 extends Application {
    val mtx = fromFile("matrix.txt").getLines.map{ line =>
                  line.split(",").map(_.trim.toInt)
              }.toList.toArray
    val LEN = mtx.size
    val SIZE = LEN*LEN
    def lst(n :Int):List[(Int,Int)] = {
        val (x,y) = (n/LEN,n%LEN)
        var ls = Nil:List[(Int,Int)]
        if(y > 0)     ls = (n-1,mtx(y-1)(x))::ls
        if(y < LEN-1) ls = (n+1,mtx(y+1)(x))::ls
        if(x > 0)     ls = (n-LEN,mtx(y)(x-1))::ls
        if(x < LEN-1) ls = (n+LEN,mtx(y)(x+1))::ls
        ls
    }

    println(dijkstra(SIZE,0,lst)(SIZE-1)+mtx(0)(0))
}