Proof of Conditional Independence 条件独立的证明和等式推导

Proof of Conditional Independence 条件独立的证明和等式推导_第1张图片

条件独立,即在贝叶斯网的同父结构中:若父节点取值确定了,那么子节点相互之间满足条件独立;若父节点取值未确定,那么子节点之间不独立。即Z=z1时,P(X|Z=z1)=P(X|Y,Z=z1)。

如果等式1: P(X|YZ)=P(X|Z)成立,即Y是什么,都不会影响X的belief(信念)。那么X,Y相互独立。

Proof of Conditional Independence 条件独立的证明和等式推导_第2张图片

举例个日常的例子,什么是不确定父节点的情况,什么是确定父节点的情况。

  • 不知道父亲结点:发生了一起命案,作为侦探的你觉得嫌疑人是X。你作出了一条爆炸的凭空猜测,猜测儿子结点X的职业有P(X)的可能性是医生,你不知道他的父亲Z的职业,但你突然得到一个消息,X的兄弟Y是医生,那么这个信息是不是就会让你反向推测X的父亲Z很有可能是从事医学相关的职业。所以,Y是医生的这条信息使得作为兄弟结点的X是医生的这条信息听起来了更合理了,X是医生的这条信息听起来不那么爆炸了,信息量I减少了,那么信息量的定义-log(P(X))减少,反推其实是P(X)增加,从而Y改变了P(X)的值。X,Y不相互独立。
  • 知道父亲结点:你已经知道了儿子结点X的父亲Z是一个医生,并且猜测X的职业有P(X)的可能性是医生,这个时候你突然得到了一个消息,X的兄弟Y是医生。此时你只能说Y的父亲是医生,我早就知道了啊,对X是什么职业没有影响。所以X,Y相互独立。

与之相对的,marginal independence边界独立性,是指在Z(儿子结点)的取值不确定时,XY(父节点)相互独立。在贝叶斯网络的V型结构中,如果子节点不确定,那么父节点之间满足边界独立性。

同样举例个日常的例子,你希望儿子身高180,如果儿子确定了,那么要生出这个儿子,要有对应身高基因的父母才行,为了让儿子的身高基因得到保证,那么假如父亲的身高基因弱一点,母亲的身高基因就要强一点。所以这个时候,父母是什么基因,就不相互独立决定了,他们之间有关联了。而如果,你不确定儿子的身高,那么父母就可以随便组合了,父母之间就是相互独立的。

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