【C++心路历程36】单调队列优化多重背包

我们知道，01背包的时间复杂度为O（N*C），而完全背包因其一维数组填表的特殊性也可一做到O（N*C），那么多重背包的O（N*C*n[i]）(n[i]为每个物品的数量)我们看起来就有些不爽了。其实可以利用单调队列做到O（N*C）的复杂度！

int N,v[maxn],p[maxn],C,n[maxn];
数组意义：
N个物品，每个物体有n[i]个，体积为v[i],价值为p[i]，现放入容积为C的背包，求最大价值。

朴素的dp方程：

f(i,j)=max{f(i-1,j-x*v[i])+p[i]*x}   0<=x<=min(j/v[i],n[i])

我们发现，拖慢时间的问题主要出在枚举x上，那么该怎样处理x呢？
我们在填表时，f(i,j)格子主要用到了i-1行的某些格子，观察dp方程，又是在这些格子中，取一个最大值。这时j-x*v[i]便会成为我们优化的一个累赘，不妨令k=j-x*v[i]；
则方程变形为：

f(i,j)=max {f(i-1,k)+(j-k)*p[i]/v[i]}   max(0,j-n[i]*v[i])<=k<=j

再次变形：

f(i,j)=max{f(i-1,k)-k/v[i]*p[i]}+j/v[i]*p[i] max(0,j-n[i]*v[i])<=k<=j

这样转化我们发现，max框框里（也就是单调队列的维护对象）已经符合要求了，但是有人会问，k/v[i]*p[i] 与j/v[i]*p[i]在除法中会有误差么？实际上是不存在的，因为k=j-x*v[i]；即j-k一定是v[i]的倍数，于是乎便不会出错了（可以想想余数的关系）

接下来还有一个问题，如何实现这个方程？注意到填f(i,j)格子时，只会用到前面与j mod v[i]同余的格子，因此在实现时，不妨枚举v[i]的余数x，即0~v[i]-1,每枚举一个x，便可将其后与x的同余的格子全部填完。而枚举每个x时，便可以用单调队列优化。
时间复杂度分析：
在填第i行时，看似是三重循环，实际上第i行每个格子都只计算了1次，故而时间复杂度为O(N*C).
附上代码：

struct data{
    LL v;int k;
}q[50005];
void dp()
{
    int front,rear;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int x=0;xx++)
    {
        front=rear=1;
        for(int j=x;j<=C;j+=v[i])
        { 
            while(rear!=front && j-n[i]*v[i]>q[front].k) front++;//退休 
            while(rear!=front && q[rear-1].v1)&1][j]-1ll*j/v[i]*p[i]) rear--;// 淘汰 
            q[rear].v=(d[(i-1)&1][j]-1ll*j/v[i]*p[i]);//新元素入队 
            q[rear++].k=j;
            d[i&1][j]=(q[front].v+1ll*j/v[i]*p[i]);
        }
    }
    LL ans=d[N&1][C];
    cout<