SG函数
一、必败点和必胜点
必败点：P点，处于这一点时在双方操作均正确的前提下必败
必胜点：N点，处于这一点时双方操作均正确的前提下必胜。
有关的性质:
1、所有终结点都是必败点
2、必败点P无论怎么操作只能进入必胜点N
3、至少有一种操作使可以从必胜点N到达必败点P
Sprague-Grundy定理（SG定理）：
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。所以多堆的情况下，就是各个堆的SG值异或起来
mex(minimal excludant)运算
这是一个集合的运算，结果是不属于这个集合中的最小的非负整数。
例如mex{0,1,2,3}=4
mex{1,3,5}=0；
而SG[X]的含义就是，当前在x的状态下（一般可以看做有x个石子），可以取f[i]个（f数组用来记录可以怎么取），得到的结果的sg值进行mex运算，例如：
有1堆n个石子，一次可以取走1或3个，那么sg函数是多少？
sg[0]=0,f[1]=1,f[2]=3,
x=1时，可以取走1个，那么sg[1]={1-f[1]}={sg[0]}=1;
x=2时，可以取走1个，sg[2]={2-f[1]}={sg[1]}=0;
x=3时，可以取走1或3个，sg[3]={3-f[1],3-f[2]}={ sg[2], sg[0]}=1
......
所以可以得到求sg函数的步骤：
（1）用f数组将当前可以取走的石子数记录
（2）在用另一个数组s记录当前状态取完后的后继状态
（3）对这些后继状态进行mex运算
（4）不断重复求所有状态（1-n）即得到sg函数
求SG函数
（1）打表求，以hdu1848为例
#include
#define exp 1e-8
#define mian main
#define pii pair
#define pll pair
#define ll long long
#define pb push_back
#define PI acos(-1.0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define w(x) while(x--)
#define int_max 2147483647
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define pq(x) priority_queue
#define ull unsigned long long
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scl(x) scanf("%lld",&x)
#define pl(a,n) next_permutation(a,a+n)
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
#define met(a,x) memset((a),(x),sizeof((a)))
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int f[N],sg[N],s[N],n,m,p;//f[N]为可改变当前状态的方式，N为方式数 s[i]为x的后继状态的集合
void SG(int n)
{
met(sg,0);//sg[0]始终=0
for(int i=1;i<=n;i++){
met(s,0);
for(int j=1;f[j]<=i;j++)
s[sg[i-f[j]]]=1;
for(int j=0;j<=n;j++)
if(s[j]==0){
sg[i]=j;
break;
}
}
}
int main()
{
f[1]=1;
f[2]=1;
for(int i=3;i<=17;i++)// f数组记录可以拿的石子数，即斐波那契数
f[i]=f[i-1]+f[i-2];
SG(1010);
while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&p)&&(m||n||p)){
if(sg[m]^sg[n]^sg[p])
printf("Fibo\n");
else printf("Nacci\n");
}
}
（2）dfs求
#include
#define exp 1e-8
#define mian main
#define pii pair
#define pll pair
#define ll long long
#define pb push_back
#define PI acos(-1.0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define w(x) while(x--)
#define int_max 2147483647
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define pq(x) priority_queue
#define ull unsigned long long
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scl(x) scanf("%lld",&x)
#define pl(a,n) next_permutation(a,a+n)
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
#define met(a,x) memset((a),(x),sizeof((a)))
using namespace std;
//注意 f数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合f的大小 f[i]是定义的特殊取法规则的数组
int f[110],sg[10010],n;
int SG_dfs(int x)
{
int i;
if(sg[x]!=-1)
return sg[x];
bool s[110];
memset(s,0,sizeof(s));
for(i=0;i=f[i])
{
SG_dfs(x-f[i]);
s[sg[x-f[i]]]=1;
}
}
int e;
for(i=0;;i++)
if(!s[i])
{
e=i;
break;
}
sg[x]=e;
}