SG函数

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参考：

http://www.cnblogs.com/frog112111/p/3199780.html

http://cyan.logdown.com/posts/286252-combinatorial-games-with-the-sg-function

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hdu 1848
bzoj 1188
bzoj 3576

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SG SG？SG SG！

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hdu 1848

直接求 sg 函数，然后判断游戏和即可。

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const int maxn = 16, size = 1000;

int fb[maxn + 5] = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987}, sg[size + 5];

void prework()
{
    static bool hash[size + 5];

    memset(hash, false, sizeof(hash));

    for(int i = 1; i <= size; i++)
    {
        for(int j = 1; j < maxn && fb[j] <= i; j++)
            hash[sg[i - fb[j]]] = true;

        for(int j = 0; j <= i; j++)
            if(!hash[j]) {sg[i] = j; break;}

        for(int j = 1; j < maxn && fb[j] <= i; j++)
            hash[sg[i - fb[j]]] = false;        
    }
}

int main()
{
    int m, n, q;

#ifndef ONLINE_JUDGE    
    freopen("1848.in","r",stdin);
    freopen("1848.out","w",stdout);
#endif

    prework();

    read(m), read(n), read(q);

    do
    {
        puts((sg[m]^sg[n]^sg[q]) ? "Fibo" : "Nacci");

        read(m), read(n), read(q);

    }while(m + n + q);

#ifndef ONLINE_JUDGE    
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
#endif  
    return 0;
}

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bzoj 1188

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考虑在一个位置的瓶子，

按每个瓶子中的巧克力豆个数的奇偶性分类，
巧克力豆个数为奇数时的 sg 函数值都相同，
巧克力豆个数为偶数时时 sg 函数值为 0。

然后求模拟玩法求每个位置巧克力豆个数为奇数时 sg 函数值即可。

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• 如何确定游戏先手能否获胜？
  设 ans 为巧克力豆个数为奇数的位置的 sg 函数值的异或和。
  如果 ans>0 ，那么 先手有必胜策略。

• 如何输出第一步的操作？
  我们希望后继状态的 sg 值为 0 ，那么当 ans⊕sg(i)⊕sg(j)⊕sg(k)=0(i<j≤k) 时，
  对 i ， j ， k 三个瓶子操作可以保证先手必胜。

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const int maxn = 30;

int n, sg[maxn], a[maxn];
int hash[maxn*maxn];

void prework(int size)
{
    for(int i = 1; i <= size; i++)
    {
        for(int j = 1; j < i; j++)
            for(int k = 1; k <= j; k++)
                hash[sg[j] ^ sg[k]] = i;

        for(int j = 0; j <= i*i; j++)
            if(hash[j] != i)
            {
                sg[i] = j;
                break;
            }
    }
}
void init()
{
    read(n);

    for(int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
}
void solve()
{
    int s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0;
    int ans = 0, cnt = 0;

    for(int i = 1; i <= n; i++) if(a[i]&1) ans ^= sg[n - i + 1];

    if(!ans) {puts("-1 -1 -1"), puts("0"); return;}

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
            for(int k = j; k <= n; k++)
                if(!(ans ^ sg[n - i + 1] ^ sg[n - j + 1] ^ sg[n - k + 1]))
                    if(!cnt++) s1 = i, s2 = j, s3 = k;

    write(s1 - 1), putchar(' ');
    write(s2 - 1), putchar(' ');
    write(s3 - 1), puts("");
    write(cnt), puts("");           

}
int main()
{
    int T;

#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1188.in","r",stdin);
    freopen("1188.out","w",stdout);
#endif

    read(T), prework(maxn - 5);

    while(T--) init(), solve(); 

#ifndef ONLINE_JUDGE
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
#endif
    return 0;   
}

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bzoj 3576

这道题稍难一些。

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设石子序列为 {ai} , 暴力求 sg 函数 时间复杂度是 O(a2i)

如果把 x 个石子分成 p 堆。

sg(x)=mex{sg(⌊x/p⌋+1)∗(x mod p mod 2)⊕sg(⌊x/p⌋)∗(1−x mod p mod 2)|2≤p≤x}

考虑 sg(⌊x/p⌋) 和 sg(⌊x/p⌋+1) ， ⌊x/p⌋ 的不同取值是 O(x√) 的。

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证明：

• 当 p<x√ 时，显然 ⌊x/p⌋ 最多只有 x√ 个取值

• 当 p≥x√ 时 , x/p≤m ，注意到 ⌊x/p⌋ 是整数，所以最多也只有 x√ 个取值

做数学题时的常用优化方法。。。

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而 x mod p mod 2 的取值只有两种，枚举一下就行了

另外我们还发现 T∗n<=105 , 显然记忆化搜索会比直接打表快很多。

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时间复杂度： O(ai∗ai−−√)

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const int maxs = 1e5 + 50, size = maxs<<1, maxn = 110;

int T, f;
int n, a[maxn];

#define work(t, c) (sg(((t) / (c) + 1)*((t) % (c) &1))^sg((t) / (c)*((c) - (t) % (c) &1)))

int sg(int x)
{
    static bool flag[maxs] = {false};
    static int hash[size] = {0}, _sg[maxs];

    if(x < f) return 0;
    if(flag[x]) return _sg[x];

    flag[x] = true;

    for(int i = 2; i <= x; i = x/(x/i) + 1)
    {
        hash[work(x, i)] = x;

        if(i < x) hash[work(x, i + 1)] = x; 
    }

    int pos = 0;

    while(hash[pos] == x) pos++;

    return (_sg[x] = pos);
}
int solve()
{
    int ans = 0;

    read(n);

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        read(a[i]), ans ^= sg(a[i]);

    return ans; 
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE    
    freopen("3576.in","r",stdin);
    freopen("3576.out","w",stdout);
#endif

    read(T), read(f);

    while(T--) putchar('0' + (solve()?1:0)), putchar(T?' ':'\n');


#ifndef ONLINE_JUDGE
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
#endif
    return 0;       
}

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