学习动态规划DP（二）——背包问题

前言：
学习动态规划，必学背包问题。背包问题可以说是动态规划里的经典、基础问题了。第一次接触时真的懵了很久，现在重新来看明朗了很多，所以想趁这时候写下自己的想法和理解。

感觉动态规划可以拆成：动、态、规划。
态：我们所要解决的问题在当前状态下会有不同的发展方向，或者说下一个状态有多种选择；
动：前一个状态可能会对后面的状态造成一定的影响，状态之间是有联系的，而不是各顾各的，“静态”的。
规划：我们需要规划好在往下一个状态发展时，可以有几种选择（确保考虑了所有可能的情形），并确定好每一种选择对应的不同状态。（我们要做的，就是根据题目的要求，在上述的状态中选取我们要找的状态。）

总而言之，动态规划是一种大的思想，没有什么函数模板可以套用。我们需要学习并且理解这一思想，避免“每次碰到新题自己都想不出来，但一看题解就懂”的情况（紫书上的话哈哈哈）。其中最核心的，也就是状态的选择的转换了，还是得多做题目练习，久了自然会参悟。（大佬忽略我这句话）

进入正题：经典背包问题
背包问题，其实就是物品是否放进背包的问题，对于每个物品，就两种情况：放 和 不放

下面加粗的字是为了区别三种问题的不同。
一、01背包
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是v[i]，价值是w[i]。求将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。每种物品数量都为1！

思路：一个物品有两个参数，我们可以根据物品的参数去定义当前的状态，对状态的不同定义会导致出现不同的状态转换方程，难度有异，所以我们要慎选。
对于这类问题，我们可以定义一个二维数组（对应物品的两个参数） d[i][j]，表示把前 i个物品装到容量为 j的背包中可以获得的最大总价值。选择好状态的表示方式后，我们开始考虑从当前状态进入到下一个状态时的不同选择。对于背包问题，只有选与不选两种情况，所以有两种不同选择。
①不选：则显然，当前的背包容量和总价值没有变化，但我们物品的选择范围增加了一，所以 d[i][j] = d[i-1][j];
②选：为了达到总价值最大的目的，我们要把选后的总价值跟原来的总价值比较，取最大的。可能有人会说，再选一件物品加入，那总价值肯定大了啊怎么还要比较。不要忘了此时当前背包容量也变化了。我们要明确我们定义的状态是什么，是把前 i个物品装到容量为 j的背包中可以获得的最大总价值，我们对这前 i 件物品的选取方式有多种（组合），我们要在当前容量一定的情况下选择最佳的那种，这样就不是单纯的再选取一个加进去了。回归正题，此时 d[i][j] = max(d[i][j],d[i-1][j-v[i]]+w[i])。
我们来好好剖析一下这个方程中的 d[i-1][j-v[i]]+w[i]。d[i-1][j-v[i]]指把前i-1件物品装到容量为j-v[i]的背包中可以获得的最大总价值，这时候我们再把第i 件物品加入，就变成了把前i 件物品装到容量为 j-v[i]+v[i]==j的背包中可以获得的最大总价值，即d[i][j]。所以d[i][j] = 原来没加入i 时d[i-1][j-v[i]]的总价值，再加第i 件物品的价值w[i]。

for(int i=1; i<=number_of_object; ++i)
    {
        for(int j=0; j<=capacity_of_bag; ++j)
        {
            //如果容量不够，那肯定放不下
            if(j1][j];
            //容量够了，选择放或者不放后总价值最大的一个
            else
                d[i][j] = max(d[i-1][j],d[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
//最终答案就是d[number_of_object][capacity_of_bag]了。

我们还可以这样定义状态：d[i]表示背包容量还剩下i 时可以装的最大总价值。变成了一维数组，也占用了更多的空间。

cin>>n>>m;//n件物品，背包容量m
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cin>>w>>v;//第i 件物品的价值和体积
        //从最大容量遍历，是为了使得同一件物品不重复放进背包
        //因为我们每一步都是给f[j]赋值，且是根据我们还未遍历到的j来赋值
        //所以f[m-v-1]并没有在f[m]的基础上再加上i 的价值
        //若m>2*v，在j=m时我们把可以 i 放进背包，因为此时j
        //在j=m-v-1时我们把可以 i放进背包，因为此时j
        //相当于在原来没有i 的情况下加入了i .
        //这时候背包里并没有两个i ，因为i 存在于f[m-v-1]中，所以也必然存在于f[m]中。
        //就像是把i 存在的范围缩小了一样。再强调f[m-v-1]并没有在f[m]的基础上再加上i 的价值。

        for(int j=m;j>=v;--j)
        {
            //如果把i 添加后总价值变大，就更新f[j]
            //原理同上述的二维数组解法
            if(f[j]cout<

01背包基础习题

二、完全背包
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是v[i]，价值是w[i]。求将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。每种物品都有无限多个

01背包的进阶，有无限多个物品，所以可以重复选择。其实思路跟01背包一样，直接用代码解释。我学习的时候感觉一维数组好理解，所以直接用一维数组。

cin>>n>>m;//n件物品，背包容量m

    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cin>>v>>w;//第i 件物品的体积和价值
        //从 j = v开始循环（从容量小到容量大），可以使得每一个物品被重复选中
        //j=v时我们将i 放入，j=2*v时我们也将i 放入，
        //此时的d[2*v]是在d[v]的基础上再加上i 的价值
        //也就选中了两个i 放入背包，因此实现了重复选中物品
        for(int j=v;j<=m;++j)
            if(d[j]cout<

完全背包基础习题

三、多重背包
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是v[i]，价值是w[i]。求将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。第i 种物品有c[i]件。

不同种类物品的个数可以不同。跟完全背包一样，也是建立在01背包的基础上的。如果一种物品有k 件，我们可以看成有k 种参数相同的物品，每种只有一件，这样就完全转为01背包问题去求解了！

cin>>n>>m;//n件物品，背包容量m
for(int i=1;i<=n;++i)
    cin>>v[i]>>w[i]>>c[i];//分别表示第I种物品的体积、价值、数量
        //前两个for表示了：如果一种物品有k 件，
        //我们可以看成有k 种参数相同的物品，每种只有一件
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int k=1;k<=c[i];++k)
                //从最大容量开始遍历，就是因为思路转换后变成解决01背包问题
                for(int j=m;j>=v[i];--j)
                    if(d[j]cout<

多重背包基础习题

总结完成！对DP的学习暂时放下了，期末复习要紧。
用一维数组虽然简便但占空间多且不利用输出具体的选择方案。
如何输出具体的选择方案，以后再学。