单源点最短路径算法：Bellman-Ford算法
背景知识
图简介
图由节点和边组成，边有方向的图称为有向图，边没有方向的图称为无向图，最短路径算法里可以把无向图视为双向连接的有向图。
边有权重的图称为有权图，边没有权重的图称为无权图，无权图可以视为边的权重均为1的图。
单源点最短路径
给定图中的一个节点，求该节点到其他所有节点的最短路径。
Bellman-Ford算法
概述
Bellman-Ford属于DP算法，适用于含负权边的图，并且可以检测图中是否含有负权环（意味着没有最短路径），时间复杂度为O(VE)
核心思想
对所有边进行V-1次遍历，第一次遍历获得边数为1的最短路径，第二次遍历获得边数为2的最短路径，以此类推，第V-1次遍历获得边数为V-1的最短路径。V-1次遍历后，进行第V次遍历，如果能够获得更小的路径长度，说明存在负环。
算法步骤
dis[]用于存储每个节点到源点src的距离，preNode[]存储每个节点的前驱节点
Step1：初始化dis[]为INT_MAX，dis[src]初始化为0. preNode[src]初始化为-1.
Step2：遍历图中的每条边edge(v,u)，若dis[v]不为INT_MAX，且dis[v] + weight(v,u) < dis[u]，执行dis[u] = dis[v] + weight(v,u)。
Step3：重复Step2 V次，若某次遍历没有执行dis[u] = dis[v] + weight(v,u)，即发生了松弛，结束Step3
Step4：判断Step3最后一次执行是否发生松弛，若发生，说明图中含有负权环，若没有发生，说明图中没有负权环。
为什么能获得最短路径
可以从直观上理解，第一次遍历获得了（距离源点）边数量为1的最短路径，第二次在第一次的基础上获得了边数量为2的最短路径，第三次在第二次的基础上获得了边数量为3的最短路径，依次类推，有些节点到源点有很多条路径，这些路径的边数可能不一样也可能一样，算法会在V-1循环中比较这些路径的长度，取最小值作为最短路径（遍历中边数多的可能距离可能反而小于边数少的，这个时候就会发生松弛了）。
为什么最后一次遍历是否发生松弛可以判断负环
有两种情况会导致Step3结束，一是当次遍历没有发生松弛，二是已经循环了V次，情况一显然不存在负环，不然肯定可以继续松弛。情况二下，如果最后一次遍历发生了松弛，说明第V次松弛了，意味着找到的边长数为V的最短路径，而最长的最短路劲应该是V-1条边， 所以肯定至少一条边重复了，一定是出现环了，环路径比非环更短，说明是负环。
举个最简单的例子：
第一次遍历 dis[1] = 2, dis[2] =INT_MAX
第二次遍历 dis[1] = 2, dis[2] = 3;
已经遍历了V-1即两次了，第3次遍历，dis[1] = dis[2] + wegiht(2,1) = 1，小于dis[1]，所以会继续发生松弛。
如果weight(1,2) = 3,环长度为3-2=1，正环，这个时候第V次遍历就不会发生松弛了。
C++实现
#include >
vectorint , int>> arcs;
for(int i = 0; i < graph.size(); i++)
{
for(int j = 0; j < graph.size(); j++)
{
if(graph[i][j] != 0)
{
arcs.push_back(pair<int, int>(i, j));
}
}
}
///intialize distance array
vector<int> distToSrc(graph.size(), INT_MAX);
distToSrc[src] = 0;
bool isSlacked = false;
///traverse and slack
for(int i = 0; i < graph.size(); i++)
{
isSlacked = false;
for(auto arc: arcs)
{
if(distToSrc[arc.first] != INT_MAX &&
distToSrc[arc.first] + graph[arc.first][arc.second] < distToSrc[arc.second])
{
distToSrc[arc.second] = distToSrc[arc.first] + graph[arc.first][arc.second];
preNode[arc.second] = arc.first;
isSlacked = true;
}
}
///no slack in on traverse, break;
if(!isSlacked)
{
break;
}
}
/*
*ifSlacked == true, means V's traverse is slacked which means
*have negative circle. otherwise isSlacked should be false
*/
if(isSlacked)
{
return vector<int>();
}
return distToSrc;
}
int printPath()
{
vector<vector<int>> graph{{0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0},
{4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0},
{0, 8, 0, 7, 0, 4, 0, 0, 2},
{0, 0, 7, 0, 9, 14, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 9, 0, 10, 0, 0, 0},
{0, 0, 4, 14, 10, 0, 2, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 6},
{8, 11, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 7},
{0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 7, 0}};
vector<int> preNode;
auto dists = bellmanFord(0, graph, preNode);
///print
for(int i = 0; i < dists.size(); i++)
{
cout << i << " " << dists[i] << ": ";
int node = i;
stack<int> s;
while(node != -1)
{
s.push(node);
node = preNode[node];
}
while(!s.empty())
{
cout << s.top() << " ";
s.pop();
}
cout << endl;
}
}
int main()
{
Solution().printPath();
return 0;
}