跟我刷线性代数考研题

跟我刷《线性代数》填空题、选择题，每天三道小题（填空或选择题）。夯实数学基础，攻>克考研线代部分12分小题。
题目取材于李永乐、王式安主编《数学基础过关660题》线性代数部分。

今日主题：数值型行列式计算

思路点拨

数值型行列式指的是行列式以元素条件给出，其元素既可以是已知数，也可以是字母。解数值型行列式的思路不外乎下面三种：

• 利用行列式的性质作初等行（列）变换；
• 按一行（列）展开；
• 综合使用初等变换和按行（列）展开。

目标是将原行列式化为：上（下）三角形行列式、将为低阶（三阶或者二阶）、化为拉普拉斯公式形式$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right|=|A||B|$

数值型行列式计算的训练中，要多多培养自己的观察能力，多总结解题经验，因为数值型行列式的数值当中一定隐含着某种特殊性，若能洞察到这种特殊性就能找到最简洁的计算方法，从而能节约时间。总的来说，是掌握下面的原则：（1）将无序变为有序，就是将看似没有规律的题目整理成有规律；（2）简单原则：降阶。

例题精讲

例1. 设$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right],$ 且$|A|=m,$

$B=\left[\begin{array}{ccc}2a_{11}& 2a_{21}& 2a_{31}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\\ a_{11}-a_{12}& a_{21}-a_{22}& a_{31}-a_{32}\end{array}\right],$
则$|B|=()$

$$\begin{array}{ll}(A)m& (B)-8m\\ (C)2m& (D)-2m\end{array}$$

解： 先化简$|B|$:

$$|B|=2\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{21}& a_{31}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\\ a_{11}-a_{12}& a_{21}-a_{22}& a_{31}-a_{32}\end{array}\right|$$
$$\stackrel{-r_1+r_3}{=}2\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{21}& a_{31}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\\ -a_{12}& -a_{22}& -a_{32}\end{array}\right|$$
$$\stackrel{r_2\leftrightarrow r3}{=}2\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{21}& a_{31}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right|$$

(看出与$|A|$的转置关系了吗？)
$$=2|A^T|=2m.$$

两道练习

1. 行列式 $\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 4& 0& 1& 1\\ 6& 2& 0& 2\\ 8& 3& 3& 0\end{array}\right|=()$

$$\begin{array}{ll}(A)34& (B)-34\\ (C)32& (D)-32\end{array}$$

2. 行列式 $\left|\begin{array}{cccc}0& 0& a& 0\\ b& 0& 0& 0\\ 0& c& 0& d\\ 0& 0& e& f\end{array}\right|=\underline{}.$

练习提示

1. 元素规律：每行的后三个元素分别有公因子1,1,2,3,于是可以用第一行的$-1,-2,-3$倍分别加至第二、三、四行，从而将原行列式化为“箭形行列式。”答案为：B.

2. 思路一：按第一行展开；思路二：交换二三行，化为$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right|$形式；思路三：将第一行换至第三行，化为$\left|\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right|$形式。答案为：abcf.

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