最小二乘矩阵形式和一般形式

1.线性代数模型

首先给出最小二乘解的矩阵形式的公式：

推导过程：

条件：

矩阵必须是列满秩矩阵，否则的逆就不会存在。

若A为m×n的矩阵，b为m×1的矩阵，则Ax=b表达了一个线性方程组，它的normal equation的形式为ATAx=ATb。

当Ax=b有解时（即矩阵[A|b]的秩与A的秩相同），Ax=b与ATAx=ATb的解集是一样。

而当Ax=b无解时，ATAx=ATb仍然有解，其解集即最小二乘解（least squares solution），即使得(Ax-b)T(Ax-b)的值最小的解，可以理解为使方程组Ax=b近似成立且误差最小的解。

Python语言写的一个例子：

#encoding=UTF-8
'''''
Created on 2014年6月30日

@author: jin
'''
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
from random import *

def loadData():
    x = arange(-1,1,0.02)
    y = ((x*x-1)**3+1)*(cos(x*2)+0.6*sin(x*1.3))
    #生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去
    xr=[];yr=[];i = 0
    for xx in x:
        yy=y[i]
        d=float(randint(80,120))/100
        i+=1
        xr.append(xx*d)
        yr.append(yy*d)
    return x,y,xr,yr
def XY(x,y,order):
    X=[]
    for i in range(order+1):
        X.append(x**i)
    X=mat(X).T
    Y=array(y).reshape((len(y),1))
    return X,Y
def figPlot(x1,y1,x2,y2):
    plt.plot(x1,y1,color='g',linestyle='-',marker='')
    plt.plot(x2,y2,color='m',linestyle='',marker='.')
    plt.show()
def Main():
    x,y,xr,yr = loadData()
    X,Y = XY(x,y,9)
    XT=X.transpose()#X的转置
    B=dot(dot(linalg.inv(dot(XT,X)),XT),Y)#套用最小二乘法公式
    myY=dot(X,B)
    figPlot(x,myY,xr,yr)
Main()

程序截图：

MATLAB写的例子：

clear
clc
Y=[33815    33981   34004   34165   34212   34327   34344   34458   34498   34476   34483   34488   34513   34497   34511   34520   34507   34509   34521   34513   34515   34517   34519   34519   34521   34521   34523   34525   34525   34527]
T=[1    2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30]
% 线性化处理
for t = 1:30,
   x(t)=exp(-t);
   y(t)=1/Y(t);
end
% 计算，并输出回归系数B
c=zeros(30,1)+1;
X=[c,x'];
B=inv(X'*X)*X'*y'
for i=1:30,
% 计算回归拟合值
    z(i)=B(1,1)+B(2,1)*x(i);
end
Y2=[]
for j=1:30,
    Y2(j)=1/(B(1,1)+B(2,1)*exp(-j));
end
plot(T,Y2)
hold on
plot(T,Y,'r.')

截图：

2、一般线性模型

一般线性模型，即普通最小二乘法（ Ordinary  Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。

以简单线性模型 y =  b1t +b0 作为例子。

回归模型：

最优化目标函数：

则目标函数可以简化成如下形式：

对简化后的目标函数进行求解，得到表达式：

下面是C++的实现例子：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

class LeastSquare{
    double b0, b1;
    public:
        LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)
        {   //下面是最小二乘法的核心过程
            double xi_xi=0, xi=0, xi_yi=0, yi=0;
            for(int i=0; i
            {
                xi_xi += x[i]*x[i];
                xi += x[i];
                xi_yi += x[i]*y[i];
                yi += y[i];
            }
            b1= (xi_yi*x.size() - xi*yi) / (xi_xi*x.size() - xi*xi);
            b0 = (xi_xi*yi - xi*xi_yi) / (xi_xi*x.size() - xi*xi);
        }

        double getY(const double x) const
        {
            return b0+b1*x;
        }
        void print() const
        {
            cout<<"y = "<"+"<"x  "<<"\n";
        }
    };

int main()
{
        srand((unsigned int)(time(NULL)));//
        vector<double> x,y;
        double xi = 0,yi,xin,xout;
        for (int i = 0;i <10; i++) {
            yi = 2*xi +1;//原模型
            yi += 0.05*rand()/RAND_MAX*yi;//添加噪声
            y.push_back(yi);
            x.push_back(xi);

            xi += 5.0;
        }
        LeastSquare lsObj(x, y);//用样本数据实例化对象
        lsObj.print();          //输出最小二乘法得到的模型
        cout<<"Input x:\n";
        while(cin>>xin)
        {
            xout = lsObj.getY(xin);//利用得到的模型计算因变量
            cout<<"y = "<
            cout<<"Input x:\n";
        }
}

执行效果截图：

3.最小二乘法和梯度下降算法

相同点：

1 、本质相同：两种方法都是在给定已知数据（因变量 & 自变量）的前提下对因变量算出出一个一般性的估值函数。然后对给定的新的自变量用估值函数对其因变量进行估算。

2、 目标相同：都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的差的平方和尽量更小（事实上未必一定要使用平方），估算值与实际值的差的平方和的公式为：

不同点：

1、实现方法和结果不同：

最小二乘法是直接对error求导找出全局最小，是非迭代法。

而梯度下降法是一种迭代法，有一个学习的过程，先由给定参数计算一个error，然后向该error下降最快的方向调整参数值，在若干次迭代之后找到局部最小。

梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。