组合数取模方法总结（Lucas定理介绍）
正文
1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求。
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；
2、n和m较大，但是p为素数的时候
Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。
C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
也就是Lucas(n,m)%p=Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
求上式的时候，Lucas递归出口为m=0时返回1
求C(n%p, m%p)%p的时候，此处写成C(n, m)%p(p是素数，n和m均小于p)
C(n, m)%p = n! / (m ! * (n - m )!) % p = n! * mod_inverse[m! * (n - m)!, p] % p
由于p是素数，有费马小定理可知，m! * (n - m)! 关于p的逆元就是m! * (n - m)!的p-2次方。
p较小的时候预处理出1-p内所有阶乘%p的值，然后用快速幂求出逆元，就可以求出解。p较大的时候只能逐项求出分母和分子模上p的值，然后通过快速幂求逆元求解。
P较大，不打表：
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
ll ans = 1;
a %= m;
while(b)
{
if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
b /= 2;
a = (a % m) * (a % m) % m;
}
ans %= m;
return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
{
return pow(x, p - 2, p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
if(m > n)return 0;
ll up = 1, down = 1;//分子分母;
for(int i = n - m + 1; i <= n; i++)up = up * i % p;
for(int i = 1; i <= m; i++)down = down * i % p;
return up * inv(down, p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
if(m == 0)return 1;
return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
P较小，打表：
const int maxn = 1e5 + 10;
ll fac[maxn];//阶乘打表
void init(ll p)//此处的p应该小于1e5，这样Lucas定理才适用
{
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= p; i++)
fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
}
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
ll ans = 1;
a %= m;
while(b)
{
if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
b /= 2;
a = (a % m) * (a % m) % m;
}
ans %= m;
return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
{
return pow(x, p - 2, p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
if(m > n)return 0;
return fac[n] * inv(fac[m] * fac[n - m], p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
if(m == 0)return 1;
return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
3、n，m较大且p不为素数的时候
扩展Lucas定理：
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
ll ans = 1;
a %= m;
while(b)
{
if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
b /= 2;
a = (a % m) * (a % m) % m;
}
ans %= m;
return ans;
}
ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
//求解ax+by=gcd(a, b)
//返回值为gcd(a, b)
{
ll d = a;
if(b)
{
d = extgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a / b) * x;
}
else x = 1, y = 0;
return d;
}
ll mod_inverse(ll a, ll m)
//求解a关于模上m的逆元
//返回-1表示逆元不存在
{
ll x, y;
ll d = extgcd(a, m, x, y);
return d == 1 ? (m + x % m) % m : -1;
}
ll Mul(ll n, ll pi, ll pk)//计算n! mod pk的部分值 pk为pi的ki次方
//算出的答案不包括pi的幂的那一部分
{
if(!n)return 1;
ll ans = 1;
if(n / pk)
{
for(ll i = 2; i <= pk; i++) //求出循环节乘积
if(i % pi)ans = ans * i % pk;
ans = pow(ans, n / pk, pk); //循环节次数为n / pk
}
for(ll i = 2; i <= n % pk; i++)
if(i % pi)ans = ans * i % pk;
return ans * Mul(n / pi, pi, pk) % pk;//递归求解
}
ll C(ll n, ll m, ll p, ll pi, ll pk)//计算组合数C(n, m) mod pk的值 pk为pi的ki次方
{
if(m > n)return 0;
ll a = Mul(n, pi, pk), b = Mul(m, pi, pk), c = Mul(n - m, pi, pk);
ll k = 0, ans;//k为pi的幂值
for(ll i = n; i; i /= pi)k += i / pi;
for(ll i = m; i; i /= pi)k -= i / pi;
for(ll i = n - m; i; i /= pi)k -= i / pi;
ans = a * mod_inverse(b, pk) % pk * mod_inverse(c, pk) % pk * pow(pi, k, pk) % pk;//ans就是n! mod pk的值
ans = ans * (p / pk) % p * mod_inverse(p / pk, pk) % p;//此时用剩余定理合并解
return ans;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
ll x = p;
ll ans = 0;
for(ll i = 2; i <= p; i++)
{
if(x % i == 0)
{
ll pk = 1;
while(x % i == 0)pk *= i, x /= i;
ans = (ans + C(n, m, p, i, pk)) % p;
}
}
return ans;
}
int main()
{
ll n, m, p;
while(cin >> n >> m >> p)
{
cout< 参考
组合数取模方法总结（Lucas定理介绍）
ACM笔记 - 组合数
卢卡斯定理（十分钟带你看懂）