【AGC017 F】Zigzag

Description

给出一个类似杨辉三角的三角形，要求在上边选出m条走n步的路径，并满足：

1. 每条路径只能往左下/右下走，；
2. 第i+1条路径必须在第i条路径的右侧（可以重合）；

在给出一些要求，规定第x条路径的第y步一定往左下/右下走。
$n,m\le 20$

Solution

首先转化一下题意，一条路径可以由一个01序列表示，那么要满足的要求就是：
1.前一个序列的某个前缀和小于等于后面的对应的前缀和。
2.给定某个序列的某个值。
那么很明显就有一个$n{2}^{2n}$的dp，稍微优化一下变成$n^3{2}^n$，还是过不了。
下面考虑这样一个事情：
假设上一个的序列是000001001001，这个序列是000011001101。那么我们对于上一个序列可以做如下变化：将第i个1与当前序列的第i个1对齐，那么这样上一个序列还是满足条件的。
考虑这样有什么好处，设dp[i][step][mask]表示正在考虑第i个序列，并且第i个序列的前step个与mask相同。注意这里的mask实际上就是经过上面变化后的上一个序列。
那么考虑转移，首先如果step位要填的与mask的step位相同，直接填。否则如果这位填0，之前这位是1，那么不合法。如果这一位填1，之前填0，那么找到mask第step位之后的第一个1，设其为第k位（如果有的话），将第k位变成0， 然后将第step位变成1。这个就是之前的对其操作。