算法--递归与分治策略

一.递归的概念
一个直接或间接调用自身的算法叫做递归算法。即自己调用自己。
递归的关键点在结束条件。
二.通过例子看递归
1.求数的阶乘
数学公式:

0!,1!-->1
这可以作为递归结束的判断条件

//递归形式实现数的阶乘
int Factorial(int n)
{
    if(n == 0 || n == 1)    //0和1作为递归结束的条件
        return 1;
    return (n * Factorial(n-1));
}
//非递归形式实现数的阶乘
int Factorial2(int n)
{
    int sum = 1;
    if(n == 0 || n == 1)
        return sum = 1;
    while(n != 1)
    {
        sum = sum * (n--);
    }
    return sum;
}

2.斐波那契数列递归求解
形如1,1,2,3,5,8,13,21,34,55这样的数列即为斐波那契数列，其中第1和第二个数要求为1.
递归求解第n个数的值，其递归结束条件即为当第1和第二个数要求为1时结束。

//非递归求解斐波那契数列第n个值
int Fib(int n)
{
    int fib1 = 1;
    int fib2 = 1;
    int fib = 2;
    for(int i=3; i<=n; i++)
    {
        fib = fib1 + fib2;
        fib1 = fib2;
        fib2 = fib;
    }
    return fib;
}
//递归求解斐波那契数列第n个值
int Fib2(int n)
{
    if(n == 1 || n == 2)
        return 1;
    return (Fib2(n-1)+Fib2(n-2));
}

3.二分法查找
分治法的基本思想：
分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些问题互相独立又与原问题相同。递归的解决这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
举例：在一串有序数列中找到某元素,如果找到，返回元素下标；反之，返回-1.

//非递归二分法查找
//ar为一整型数组，len为其长度，key为要查找的值
int Find(int ar[], len, int key)
{
    int low = 0;        //记录查找起始位置
    int high = len-1;   //记录查找结束位置
    while(low <= high)
    {
        mid = (low+high)/2;
        if(key > ar[mid])
            low = mid + 1;
        else if(key < ar[mid])
            high = mid - 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}
//递归二分法查找
...
int low = 0;
int high = n - 1;
...
int Find2(int ar[], int low, int high, int key)
{
        mid = (low+high)/2;
        if(low > high)
            return -1;
        if(key == ar[mid])
            return mid;
        else if(key > ar[mid])
            Find2(ar, mid+1, high, key);
        else
            Find2(ar, low, mid-1, key);
    }
}