BZOJ 1911 特别行动队 （斜率优化）

$ BZOJ~1911~*~ $ 特别行动队： （斜率优化）

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$ solution: $

感觉这道题目还是比较常规的，首先我们很容易想到DP，因为题目里面说了选出的人都是连续的，这意味着我们可以从前往后DP。我们直接设 \(f[i]\) 表示前 \(i\) 在分组之后的战斗力之和（因为题目没有明确要求分几组，所以我们省去这一维度）。然后转移也比较常规，我们枚举前面的某一个人 \(k\) 作为这一组人的左端点（右端点就是第 \(i\) 个人）。这题数据范围很大，我们也不用着急，现将式子列出来，如果转移不能优化再另寻他法。（事实上这种没有性质的DP，优化只能靠转移方程）

转移方程：

$ F[i]=F[k]+a\times (S[i]-S[k])^2+b\times(S[i]-S[k])+c $

把这个式子拆开你就会看到一个与 \(i,k\) 都有关的乘积项，这是斜率优化的标志：

$ F[i] = F[k] + a\times S[i]^2 - 2a\times S[i]\times S[k] + a\times S[k]^2+b\times S[i] - b\times S[k] + c $

然后我们将同一类的项移动到一起，化为斜率优化的标准式：

$ F[k] + a\times S[k]^2 - b\times S[k] = + 2a\times S[i]\times S[k] + F[i] -a\times S[i]^2 - b\times S[i] - c $

然后我们将 乘积项\(2a\times S[i]\times S[k]\) 里面有关于 \(k\) 的 \(S[k]\) 作为横坐标（自变量） ，然后等式右边有关 \(k\) 的项 \(F[k] + a\times S[k]^2 - b\times S[k]\) 作为纵坐标（应变量）。然后我们要 \(F[i]\) 最大，其实就是让截距 \(F[i] -a\times S[i]^2 - b\times S[i] - c\) 最大。于是直接斜率优化即可。

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$ code: $

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