课后练习 1.1

个人做的课后练习

书籍：算法设计与分析基础（第三版）

习题1.1

二.
这个问题，在百度上也有答案的。好像是据说，算法本身就无法申请专利的，但是，如果实例化之后（大概就是做出了实体）就可以申请该项的专利。（此处不包括 加密算法）

四. 乘法运算来考虑的话：

Sqrt(n)
 for i←i to n do
     if i*i > n
         return i-1

加法运算来考虑的话：
注意到完全平方数之间的规律：

1—4—9—16—25—36—49—(下面是之间的差）
—3—5—7—9—11—-13—-15—
完全可以使用加法替代乘法运算

Sqrt（n）
 number←0
 for i←1 to n do
    number←number+i+i-1
    if number > n 
        return i-1 

目测上，虽然加法比较复杂，但是相对来说加法的效率应该要高效一点。

五.

Output（A,B,m,n）
 i←j←k←0
 while ijif  A[i]>B[j]
      j++
  else if A[i]==B[j]
      C[k++]←A[i]
      i++
      j++
  else
      i++
 return C 

最小的比较次数 min(n,m)
最大的比较次数 n+m

七.
假设 k 是 m，n的最小公约数，显然有：
m = i*k
n = j*k
m ÷ n = (i/j)*k ······ ( i-(i/j) )*k

八.
多一次

九.
a.最少两次
b.最多五次 gcd（13，8）
分析：因为要尽可能的多次操作，所以，这两个数必须是互质，并且这两个数，尽量由一些质数相加而得来的。
逆推：
1 ， 2
3 ， 2
3 ， 5
8 ， 5
8，13

十.
b.
逆向思考和分析问题，假设，两个数分别为 m,n 我们肯定可以求得 q = gcd（m,n），所以，我们可以产生 m/q -2 个不同的正整数（除去了 m和 n），既我们只需要判断 m/q 是奇数还是偶数 就可以判断出先行动获胜 还是 后行动获胜

十一.
a.
分析式子 mx+ny=d
假设 m = i*d，n = j*d
所以有 xi + yj = 1
进一步化简
x = （1-yj）/i
显然 i 和 j 都是确定的数字，而且 1-yj 是 i 的整数倍
我们只需要 不断的对 y进行自增或者自减，就可以得出结果
（后来我又考虑了一下，我发现可以理解成为两个等差数列求公共项对应的序列数
第一个数列是： A=i * x
第二个数列是： B=1 - j*y
显然，公共数列也是一个等差数列，公差为 lcm（i，j）
所以只需要用枚举的方法计算出第一个公共项的值，每次公共项增加或者减少 lcm（i，j）的倍数，就可以快速把所有的解求出来）
b.
和a分析类似

十二.
判断灯是开的还是关的，只需要判断拉动了开关是奇数次还是偶数次。
是奇数则是开的，是偶数则是关的。
分析任意一个自然数：
显然一般自然数的因子都是成对出现的。
例如：8=1 * 8 = 2 * 4
而当自然数是完全平方数的时候，因子会发生重复。
例如 ： 25 = 1 * 25 = 5 * 5
所以，显然得出结论：
除了是完全平方数的灯，其他灯都是关上的。