微积分知识点

1、拉格朗日中值定理、积分中值定理

参考：拉格朗日中值定理和积分中值定理有哪些不同？

概览

• 微分中值定理：
  
  • 罗尔定理
  • 拉格朗日中值定理
  • 柯西中值定理
• 积分中值定理

微分中值定理

• 罗尔定理：
  如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：
  （1）在闭区间 [a,b] 上连续
  （2）在开区间 (a,b) 内可导
  （3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f’(ξ)=0。
• 拉格朗日中值定理：
  若连续曲线y=f(x) 在 A（a,f(a)），B（b,f(b)）两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点 ，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。
  
• 柯西中值定理
  
  几何意义：用参数方程表示的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点的弦。
  

微分中值定理和积分中值定理的区别

微分中值定理：反映了导数的局部性和函数的整体性之间的关系
积分中值定理：将简单的积分化为简单的积分。

2. 洛必达法则

定义：

洛必达法则(L’Hôpital’s rule）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。可以解决0/0型不定式极限和∞/∞型不定式极限以及其他拓展的极限问题。

3. 泰勒展式

定义：

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。式子：
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