DFT再论

看了奥本海姆的课程，领悟如下：

1、信号与系统实际上是数字信号处理的基础。整个信号课程的核心问题是：

对于一个信号，如何采集，如何传输，如何恢复？

传输涉及到通信，即编码方式。采集和恢复是信号处理着重解决的问题。

2、对于周期信号，傅里叶级数是根本：

合成式：

解析式：

合成式说明，基于复数信号的正交性，可以把周期信号用同周期的复数信号和它的谐波组合得到。

解析式说明了各个谐波的幅度。信号一个周期内和该谐波的内积，除以谐波自身的内积，得到了系数。

3、对于连续信号，

合成式：

解析式：

合成式同2中一样，但是注意这里除以，趋于无穷大。此时求和变为积分，即。

之所以这里除以，是因为我解析式相比2里面没有除以。因为解析式的结果是有限值，不能去除以无穷大。

4、对于周期信号，做离散采样（DFT）

这时候存在三个频率：1、信号的频率。2、采样信号的频率。3、数字频率

信号的频率我不知道。采样信号的频率我知道，即两个样点间的时间间隔倒数。

假定信号满足这样的特点：每隔N个点重复一次。即

则可以用数字频率为的信号去合成它：

合成式：

比较连续信号的合成式，可以发现和的地位是等价的。同样，代表谐波次数。只是此时具有周期性，周期为N。

解析式：

这里有一个值得注意的地方：为什么系数只取N个？在连续信号中，我需要无穷多个谐波才能合成原始信号，而对于离散变换，系数只需要取。

原因是：离散信号的变换，只保证离散点上的值相同。

如果对周期离散冲击信号做傅里叶变换，得到的系数和是不一样的。的缺失部分会由更高次的谐波去补偿。所以需要无穷多个波去合成这个信号。此时合成出来的信号是完全一样的。而利用去合成，则只能保证采样点上的数值一样，但不能保证每个点都相同。

注意周期离散冲击信号和周期离散信号是两个概念。周期离散冲击信号是连续信号的冲击理想近似，实际是不存在的。但可以用来进行模拟实际信号从而通过傅里叶变换在频域上分析。论文里面一般叫impulse train。详见DFT基础

在上一篇DFT基础里面，用离散信号的傅里叶级数展开推导到DFT的变换式。但没有仔细地考察反变换式。其实问题也恰恰在这里：用梯形面积和去代替积分后，存在的误差就是原来连续函数的高次谐波部分。

5、N是采样点数，也是我认为的，信号的最长重复序列。

花多少时间得到这个N,取决于我的采样频率。假设两个信号都是每1000个点循环重复。同样得到1000个点，时间1秒，说明信号频率至少是1KHz。如果这1000个点时间是0.1秒，说明信号频率至少是10KHz。

所以DFT里面频率只从0到2π。实际的频率需要用采样频率去“拉宽”这个频谱。

频率分辨率是什么意思呢？

想象一个信号变化很慢，比如说0.1Hz的正弦信号，花1s的时间，采集了10个点，这个时候我去合成这些采样点，会发现几乎每个点都是一样的。因为采样的时间太短了。我看到的信号几乎没有改变。

如果我等得久一些，比如花10s时间，采集了100个点。这个时候我采集到了一个完整的信号周期。这样算出来的，证明只有。

因为此时，我的N刚刚满足在这一频率下的最小的周期长度。所以得到的结果就是这一采样频率周期的N倍，等于离散信号的周期。对应频率就是，即频率分辨率。

点数N增加，频率分辨率越高，前提是采样频率不变。N增加相当于增加了数据长度。

从这个角度上看，对于很慢的信号，高频采样没有太多的意义。因为时间是固定的，采样频率太高反而增加了数据量。对于很快的信号，高频、快速的采样即可分析出信号的频率成分。