【NOIP模拟】天使的分裂

Description

Solution

这其实是很水的一道题。
你可以找规律，也可以推公式。
我们设前缀和为g[i]，那么很明显g[i]=g[i-1]+F[i-1]。
那么现在很明显只要能递推F就好了。
我们看一下F， F[i]=F[i−1]+(F[i]−F[i−1]) 。
用f去代替后面的式子: ∑ij=0fjfi−j−∑i−1j=0fjfi−j−1=∑i−1j=0fj(fi−j−fi−j−1)+fi∗f0=F[i−2]+fi
所以 F[i]=F[i−2]+F[i−1]+fi
所以直接矩阵乘法一下就好了。

Code

#include
#include
#include
#include
#include
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int mo=998244353;
typedef long long ll;
ll i,j,k,l,t,n,m,ans;
struct ju{
    ll a[5][5];
    ju friend operator *(ju a,ju b){
        ju c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));
        int i,j,k;
        fo(i,0,4){
            fo(j,0,4){
                fo(k,0,4){
                    c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mo)%mo;
                }
            }
        }
        return c;
    }
}a,b;
ju qsm(ju x,ll y){
    ju z;
    memset(z.a,0,sizeof(z.a));fo(i,0,4)z.a[i][i]=1;
    while(y){
        if(y&1)z=z*x;
        x=x*x;
        y/=2;
    }
    return z;
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    a.a[0][1]=a.a[0][4]=1;
    a.a[1][0]=a.a[1][1]=a.a[1][4]=1;
    a.a[2][1]=a.a[2][3]=a.a[2][4]=1;
    a.a[3][1]=a.a[3][2]=a.a[3][3]=a.a[3][4]=1;
    a.a[4][4]=1;
    b.a[0][0]=1,b.a[0][1]=2,b.a[0][2]=b.a[0][3]=1,b.a[0][4]=3;
    if(!n){
        printf("1\n");
        return 0;
    }
    else{
        b=b*qsm(a,n-1);
        printf("%lld\n",b.a[0][4]);
    }
}