C++ AVL树——主要包括：《AVL树的介绍》《节点的定义》《AVL树的插入（左右单旋 + 双旋）》《AVL树的实现代码》《AVL树的性能》

上一篇博客的内容——《 二叉搜索树的链接 》

在前面，我们已经实现过了过了搜索二叉树，但是搜索二叉树还是有很多不足之处，要我们考虑，所以我们像现在实现起来是要容易操作的树，所以，下来，我们就开始了另外一棵树——AVL树。

不足之处：《二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。》

《一》AVL树的介绍
AVL树的性质：

1. 它的左右孩子都是AVL树，
2. 左右孩子 高度差 的绝对值不超过1（1 / 0 / -1）——高度差《平衡因子》

我们可以通过AVL树的性质，来判断一下，上面的树是AVL树吗？

当然，很明显，这是一个AVL树，不仅仅是看树，就看平衡因子，就可以看出，这棵树是符合AVL树的性质的。

《二》AVL树节点的定义
1. AVL树节点的定义：

 template
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode* _left;   //节点的左孩子
	AVLTreeNode* _right; //节点的右孩子
	AVLTreeNode* _parent; //父亲
	int _bf;         //平衡因子
	pair _kv;

	AVLTreeNode(const pair& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
		, _kv(kv)
	{}
};

《三》AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树，，那么AVL树过程可以分为两个部分，

第一部分：是按照二叉搜索树的方式进行插入新节点
在这里，我们先讲一下思路：首先，我们先根据二叉搜索的规则将节点插入到AVL树中，当我们把节点插入进去之后，里面的平衡因子，肯定是发生变化的 ，所以我们接下来是要更新平衡因子，如果插入进去之后，平衡因子没有发生变化，那就不用在做什么了，但是如果我们发现有的地方平衡因子已经达到 | 2 |了，那么我们就要使平衡因子变化到 | 1 / 0 |之间，我们应该怎么样做？那么我们就会想到，旋转树，使它再次达到平衡。

那怎么样旋转树呢？
那还是要判断，如果插入的位置不同，那么旋转的位置也是不同的，首先，我们先看一下，在这里，我先是把图解方案写出来，然后，我们再把实现的代码，和完整代码 写在一起，一起分析。

1. 当插入左树的时候，我们先使用，右单旋，将树平衡。

2. 当新节点插入在右数的时候，我们使用左单选，将树平衡。

3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
接下来，我们总结一下：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
   当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
   当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
   当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
   当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

《四》AVL树的实现

通过我们对上面旋转的分析，现在我们就要实现AVL树的完整代码。

#pragma once
#include

using namespace std;
#include

再看看测试代码，

void TestAVLTree()
{
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	AVLTree t;
	for (auto e : a)
	{
		cout << "Balance:" << t.IsBlanace() <<"->"<< e << endl;
		t.Insert(make_pair(e,e));
	}
	cout << "Balance:" << t.IsBlanace() << endl;
	t.Inorder();

}

这都是我测试过的代码，直接可以用，使用时，直接用main函数调用TestAVLTree()这个函数就可以使用了。

我们再看一下测试结果。

上面就是我们写的完整的AVL树实现代码，但是，如果有的同学自己实现了，那么我在给两组数据，都通过了话，说明就实现的没有问题了：

第一组数据：{ 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
第二组数据：{ 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }；

《五》AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2 N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

虽然AVL树比二叉搜索相比较，比较有优势，但是还不是最优的解决方案，所以下面，我们还要学习到一种数据结构，——红黑树。