SoS-DP 学习笔记

reference: https://codeforces.com/blog/entry/45223

前置技能： 状态压缩 DP

SoS-DP 全称是 Sum over Subsets Dynamic Programming，即子集和 DP，属于状态压缩 DP 中的一个经典问题的优化。

1. 问题引入

求 $f[s]=\sum _{i\in s}a[i]$ 或 $f[i]=\sum _{i\in s}a[s]$，我们拿出第一个问题来讨论。

2. 朴素写法

$\mathcal{O}(4^n)$ 暴力枚举：

int up = 1 << n;
for (int s = 0; s < up; s++) {
	for (int i = 0; i < up; i++) {
		if (s & i == i) f[s] += a[i];
	}
}

3. 稍微优化

$\mathcal{O}(3^n)$ 枚举子集：

for (int s = 0; s < up; s++) {
	f[s] = a[0];
	for (int i = s; i > 0; i = (i-1)&s) f[s] += f[i];
}

4. 使劲优化

用 $f[s][i]$ 表示 $x\&s=x$ 且 $x\oplus s<2^{i+1}$ 的 $a[x]$ 的和，有 $f[s][i]=f[s][i-1]+f[s\oplus 2^i][i-1]$，转移图如下：

那么我们就有了下面的写法：

// iterative version
for (int s = 0; s < up; s++) {
	dp[s][-1] = a[s];
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (s & (1 << i)) dp[s][i] = dp[s][i-1] + dp[s^(1<

可以证明这个时间复杂度是 $\mathcal{O}(n\cdot 2^n)$ 非常优秀。

5. 例题

Codeforces - 449D

Codeforces - 1028F