每日一题_190917

已知椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的长轴长为 \(2\sqrt{2},\) 焦距为 \(2,\) 抛物线 \(M:y^2=2px(p>0)\) 的准线经过 \(C\) 的左焦点 \(F.\)
$ (1) $ 求 \(C\) 与 \(M\) 的方程 $ ; $
$ (2) $ 直线 \(l\) 经过 \(C\) 的上顶点且 \(l\) 与 \(M\) 交于 \(P,Q\) 两点, 直线 \(FP,FQ\) 与 \(M\) 分别交于点 \(D\) $ ($ 异于点 \(P\) \()\), \(E\) \((\) 异于点 \(Q\) \()\), 证明\(:\) 直线 \(DE\) 的斜率为定值.
$ (1) $ 由题易知椭圆 \(C\) 的方程为 \[ C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1,\]
从而其左焦点 \(F(-1,0)\), 所以所求抛物线方程为 \(M: y^2=4x\).
$ (2) $ 如下图所示

由题设 \(P,Q,D,E\) 四点的坐标分别为\[ P( t_1^2,2t_1 ), Q(t_2^2,2t_2),D(t_3^2,2t_3), E(t_4^2,2t_4).\]
由于直线 \(PQ\) 的纵截距为 \(1\), 直线 \(DP,QE\) 的横截距为 \(-1\), 因此由截距坐标公式有\[ \begin{cases} &1=\dfrac{t_1^2\cdot 2t_2-t_2^2\cdot 2t_1}{t_1^2-t_2^2}=\dfrac{2t_1t_2}{t_1+t_2},\\ &-1=\dfrac{t_1^2\cdot 2t_3-t_3^2\cdot 2t_1}{2t_3-2t_1}=-t_1t_3,\\ &-1=\dfrac{t_2^2\cdot 2t_4-t_4^2\cdot 2t_2}{2t_4-2t_2}=-t_2t_4. \end{cases}\]
从而直线 \(DE\) 的斜率为\[ k_{DE}=\dfrac{2t_4-2t_3}{t_4^2-t_3^2}=\dfrac{2}{t_3+t_4}=\dfrac{2}{\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}}=\dfrac{2}{2}=1.\]
证毕.