HDU5073 Galaxy 题解报告

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【题目大意】

从$n$颗行星中取走$k$个，每颗行星的质量都为1，记$d_i$为第$i$颗行星到所有行星的重心的距离，问最小的转动惯量$I=\sum_{i=1}^{k}w_i*d_i^2$为多少。

【思路分析】

首先我们考虑整理一下求$I$的式子，因为所有的行星质量$w$都为1，所以

$$I=\sum_{i=1}^{k}d_i^2$$

我们设重心的位置为$x$，第$i$颗行星的位置为$a_i$，则

$$I=\sum_{i=1}^{k}(a_i-x)^2$$

$$I=\sum_{i=1}^{k}a_i^2+k*x^2-2*\sum_{i=1}^{k}a_i*x$$

我们把行星按照位置坐标从小到大排序，然后记录两个前缀和$s1$和$s2$，其中$s1$记录数组$a$的前缀和，$s2$记录$a^2$的前缀和。

如果要使得$I$最小，那么显然选取一段连续的行星会更优，所以我们可以直接从小到大枚举一段行星中最左边的一个，连续$n-k$个行星的重心就是这$n-k$个行星的坐标的平均数。

【代码实现】

 1 #include
 2 #include
 3 #include
 4 #include
 5 #include
 6 #define g() getchar()
 7 #define rg register
 8 #define go(i,a,b) for(rg int i=a;i<=b;i++)
 9 #define back(i,a,b) for(rg int i=a;i>=b;i--)
10 #define db double
11 #define ll long long
12 #define il inline
13 #define pf printf
14 #define db double
15 using namespace std;
16 int fr(){
17     int w=0,q=1;
18     char ch=g();
19     while(ch<'0'||ch>'9'){
20         if(ch=='-') q=-1;
21         ch=g();
22     }
23     while(ch>='0'&&ch<='9') w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=g();
24     return w*q;
25 }
26 const int N=50002;
27 int n,k,T;
28 db a[N],s1[N],s2[N],ans;
29 int main(){
30     //freopen("","r",stdin);
31     //freopen("","w",stdout);
32     T=fr();
33     while(T--){
34         n=fr();k=fr();ans=1e19;
35         go(i,1,n) a[i]=(db)fr();
36         if(n==k) {pf("0\n");continue;}//一定要特判n=k的情况！
37         sort(a+1,a+1+n);
38         go(i,1,n) s1[i]=s1[i-1]+a[i],s2[i]=s2[i-1]+a[i]*a[i];
39         rg int m=n-k;
40         go(i,1,k+1){
41             rg int j=i+m-1;
42             rg db x=1.0*(s1[j]-s1[i-1])/m;
43             ans=min(ans,(db)m*x*x+s2[j]-s2[i-1]-(db)2*(db)(s1[j]-s1[i-1])*x);
44         }
45         pf("%.10lf\n",ans);
46     }
47     return 0;
48 }

代码戳这里