floyd-warshall算法

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

 

2.算法描述

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下：

最后A₃即为所求结果

 

3.算法代码实现

typedef struct          
{        
    char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
    int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
}MGraph; 

void Floyd(MGraph g)
{
 　　int A[MAXV][MAXV];
 　　int path[MAXV][MAXV];
 　　int i,j,k,n=g.n;
 　　for(i=0;i)
    　　for(j=0;j)
    　　{ 　　
             A[i][j]=g.edges[i][j];
         　　 path[i][j]=-1;
     　 }
 　　for(k=0;k)
 　　{ 
      　　for(i=0;i)
         　　for(j=0;j)
             　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
             　　{
                   　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
                   　　path[i][j]=k;
              　 } 
    　} 
} 

floyd算法

弗洛伊德（Floyd）算法过程：
１、用D[v][w]记录每一对顶点的最短距离。
２、依次扫描每一个点，并以其为基点再遍历所有每一对顶点D[][]的值，看看是否可用过该基点让这对顶点间的距离更小。

算法理解：
最短距离有三种情况：
１、两点的直达距离最短。（如下图）
２、两点间只通过一个中间点而距离最短。（图）
３、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。（图）

对于第一种情况：在初始化的时候就已经找出来了且以后也不会更改到。
对于第二种情况：弗洛伊德算法的基本操作就是对于每一对顶点，遍历所有其它顶点，看看可否通过这一个顶点让这对顶点距离更短，也就是遍历了图中所有的三角形（算法中对同一个三角形扫描了九次，原则上只用扫描三次即可，但要加入判断，效率更低）。
对于第三种情况：如下图的五边形，可先找一点（比如x，使=2），就变成了四边形问题，再找一点（比如y,使=2），可变成三角形问题了（v,u,w），也就变成第二种情况了，由此对于n边形也可以一步步转化成四边形三角形问题。（这里面不用担心哪个点要先找哪个点要后找，因为找了任一个点都可以使其变成（n－1）边形的问题）。

floyd的核心代码:

 

for  (k = 0 ;k < g.vexnum;k ++ )
{
     for  (i = 0 ;i < g.vexnum;i ++ )
    {
         for  (j = 0 ;j < g.vexnum;j ++ )
        {
             if  (distance[i][j] > distance[i][k] + distance[k][j])
            {
                distance[i][j] = distance[i][k] + distance[k][j];
            }
        }
    }
}

 

结合代码 并参照上图所示 我们来模拟执行下 这样才能加深理解：
第一关键步骤：当k执行到x，i=v,j=u时，计算出v到u的最短路径要通过x，此时v、u联通了。
第二关键步骤：当k执行到u，i=v，j=y，此时计算出v到y的最短路径的最短路径为v到u，再到y(此时v到u的最短路径上一步我们已经计算过来，直接利用上步结果)。
第三关键步骤：当k执行到y时，i=v，j=w，此时计算出最短路径为v到y(此时v到y的最短路径长在第二步我们已经计算出来了)，再从y到w。

依次扫描每一点(k)，并以该点作为中介点，计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离，这就是floyd算法的精髓！同时也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环的原因.

 

// 多源最短路径,floyd_warshall算法,复杂度O(n^3)
// 求出所有点对之间的最短路经,传入图的大小和邻接阵
// 返回各点间最短距离min[]和路径pre[],pre[i][j]记录i到j最短路径上j的父结点
// 可更改路权类型,路权必须非负!
#define  MAXN 200
#define  inf 1000000000
typedef  int  elem_t;

void  floyd_warshall( int  n,elem_t mat[][MAXN],elem_t min[][MAXN], int  pre[][MAXN]){
     int  i,j,k;
     for  (i = 0 ;i < n;i ++ )
         for  (j = 0 ;j < n;j ++ )
            min[i][j] = mat[i][j],pre[i][j] = (i == j) ?- 1 :i;
     for  (k = 0 ;k < n;k ++ )
         for  (i = 0 ;i < n;i ++ )
             for  (j = 0 ;j < n;j ++ )
                 if  (min[i][k] + min[k][j] < min[i][j])
                    min[i][j] = min[i][k] + min[k][j],pre[i][j] = pre[k][j];
}