点到超平面的距离简单证明

这是一个简单的问题，定义如下:

设， $y(X)=W^{T}X+b,X\in R^n,b\in R$, 是一个 affine function(这个不重要，是个函数就行),超平面为 $h:W^{T}X+b=0$, 证明: $R^n$ 中任意一点 $X$ 到 $h$ 的距离为 $\frac{|y(X)|}{||W||}$

证明：

如图:

在超平面上任意取一点 $X^{\prime },s.t.y(X^{\prime })=0$
距离

$$\begin{array}{rl}d& =||(X^{\prime }-X)||\cos \alpha \\ & =\frac{|W^T(X^{\prime }-X)|}{||W||}\\ & =\frac{|W^T{X}^{\prime }+b-(W^{T}X+b)|}{||W||}\\ & =\frac{|y(X)|}{||W||}\end{array}$$