数据结构心得3——图
数据结构心得3——图
目录：
1. 图及其基本概念
2. 图的存储方式
3. 图的遍历
4. 最小生成树
5. 最短路径
图及其基本概念
图的定义：图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
有向图: 顶点对
无向图: 顶点对(x, y)是无序的。
完全图：如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图。n个顶点，对于完全无向图，共有n(n-1)/2条边，而完全有向图为n(n-1)条边。（想想一个顶点可以连接除它本身之外的n-1条边，就很容易理解这个原理了）。
连通图：在无向图G中，任意两个顶点是相通的就是连通图。
子图： 设有两个图 G＝(V, E) 和 G‘＝(V’, E‘)。若 V’包含于 V 且 E‘包含于E, 则称图G’是图G 的子图。
强连通图：在有向图中, 若对于每一对顶点vi和vj, 都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径, 则称此图是强连通图。
顶点的度：顶点关联边的数目。有向图图中有，入度：方向指向顶点的边；出度：方向背向顶点的边。在有向图中顶点的度就是两者之和。
路径：在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 (vi vp1 vp2 ... vpm vj) 为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。
路径长度：非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。
简单路径: 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不 互相重复, 则称这样的路径为简单路径。
回路: 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。
连通：在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。
连通图：如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是连通图。
连通分量：非连通图的极大连通子图叫做连通分量。
强连通分量：非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。
图的存储方式
邻接矩阵表示法
邻接顶点：如果 (u, v) 是 E(G) 中的一条边，则称 u 与 v 互为邻接顶点。
邻接矩阵：在图的邻接矩阵表示中，有一个记录各个顶点信息的顶点表（一维数组），还有一个表示各个顶点之间关系的邻接矩阵（二维数组）。
有向图、无向图的邻接矩阵表示（考点）：
这种题，很可能给一个有向图或者无向图的邻接矩阵，让画出图的表示。或者给出有向图的邻接矩阵，让求入度和出度，记住“行出列入”，即行之和是出度，列之和为入度。同时也要记住，无向图的邻接矩阵是对称阵。
网络的邻接矩阵表示（考点）：
带权的图叫做网络，网络的邻接矩阵与图的邻接矩阵表示大致相近，具体公式如下：
此时，0不再表示不连通，而是表示顶点自身和自身的关系，至于不连通，则使用无穷大表示，在实际编程过程中，通常用一个很大的数来表示无穷大。其边的权重，代替了图的表示法的1。至于题型，和上文出题方式一致。
注意：也有教材采用无穷大表示自身和自身，并不影响什么。
邻接表
数组和链表相结合的存储方法为邻接表。图中顶点用一个一维数组存储，每个顶点Vi的所有邻接点构成一个线性表。其实就是建立一个节点数组，或者说是一个链表数组。
对于有向图，出度表叫邻接表，入度表叫逆邻接表。
对于网络，实际上就是节点类多出了一个权数而以，称之为cost
两个结论：设图中有 n 个顶点，e 条边，则用邻接表表示无向图时，需要 n 个顶点结点，2e 个边结点；用邻接表表示有向图时，若不考虑逆邻接表，只需 n 个顶点结点，e 个边结点。
图的遍历
深度优先遍历DFS (Depth First Search)
1 首先访问顶点i
2 若当前访问的顶点的邻接顶点有未被访问的，则任选一个访问之；
反之，退回到最近访问过的顶点；直到与起始顶点相通的全部顶点都访问完毕；
3 若此时图中尚有顶点未被访问，则再选其中一个顶点作为起始顶点并访问之，重复上述过程； 反之，遍历结束
为记录访问情况，需要一个数组，访问该结点后，将其访问标记置为访问过，即visited[i]=1。
广度优先遍历方法：BFS (Breadth First Search)
1首先访问顶点i，并将其访问标志置为已被访问，即visited[i]=1；
2 接着依次访问与顶点i有边相连的所有顶点W1，W2，…，Wt
3然后再按顺序访问与W1，W2，…，Wt有边相连又未曾访问过的顶点；依此类推，直到图中所有顶点都被访问完为止。
需要说明的是，这两种遍历方式，结果都不唯一。因此只要掌握其思想就好。
最小生成树
最小生成树：n个顶点的生成树很多，最小生成树就需要从这很多树中选一棵代价最小的生成树（即该树各边的代价或者称之为权重之和最小）。
贪心算法的思想：分解问题，对各个问题求局部最优，最后各个局部最优解堆叠形成全局最优解。对于简单的优化问题，这种解决方法可行，如求最小生成树的Prim算法和Kruskal算法，就是通过贪心策略实现的；但是对于复杂的优化问题，使用贪心算法容易陷入局部最优，难以得到所期望的全局最优，对于复杂的优化问题，启发式算法更具优越性。
Prim算法
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边
b.将v加入集合Vnew中，将
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
看起来很复杂，简单的说就是，先随便找个节点当成起始点，然后就找一个和这个起始点相连的权重最小的顶点连起来，然后再看和这两个点相连的顶点，选最小权重边的点再相连，之后重复该操作，但是要保证任意连线不构成回路就好。对，就是这么简单。
Kruskal算法
1).记Graph中有v个顶点，e个边。
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边。
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序。
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中且不在同一个连通分量中，添加这条边到图Graphnew中。
说白了，就是把边排序，选小的且不构成回路的连接，就构成了最小生成树。
两种算法时间复杂度比较
设n个顶点，e条边：
Prim: T(n)=O(n2), 适合边多的稠密度。
Kruskl: T(n)=O(elog2e), 适合边少的稀疏图。
最短路径
这里课堂上只讲了Dijkstra算法，这部分内容也会在运筹学课堂上讲到。别人家的博客已经写的很完善了，所以谢谢大佬的博客，直接上链接：
https://www.cnblogs.com/liuzhen1995/p/6527929.html
https://www.cnblogs.com/he-px/p/6677063.html
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