0-1背包问题

此题在华为笔试中出现次数很多。

输入：

价值：6,3,5,4,6

重量：2,2,6,5,4

背包容量：10

输出：

偷到的总价值：15

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int main()
{
	int value[6] = {0};
	int weight[6] = {0};
	int cap;

	//带逗号的循环数据输入
	for (int i = 1; i < 6; ++i)
	{
		cin >> value[i];
		cin.get();
	}
	for (int i = 1; i < 6; ++i)
	{
		cin >> weight[i];
		cin.get();
	}
	cin >> cap;


	//填表过程
	int f[6][100] = { 0 };
	for (int i = 1; i < 6; ++i)
	{
		for (int j = 1; j <= cap; ++j)
		{
			if (weight[i] > j)
			{
				f[i][j] = f[i - 1][j];
			}
			else
			{
				f[i][j] = f[i - 1][j] > f[i - 1][j - weight[i]] + value[i] ? f[i - 1][j] : f[i - 1][j - weight[i]] + value[i];
			}
		}
	}
	cout << f[5][10];

	system("pause");
}

填表过程参考 https://www.cnblogs.com/vincently/p/4804225.html

主要公式如下：

0-1背包问题是指每一种物品都只有一件，可以选择放或者不放。现在假设有n件物品，背包承重为m。

对于这种问题，我们可以采用一个二维数组去解决：f[i][j]，其中i代表加入背包的是前i件物品，j表示背包的承重，f[i][j]表示当前状态下能放进背包里面的物品的最大总价值。那么，f[n][m]就是我们的最终结果了。

采用动态规划，必须要知道初始状态和状态转移方程。初始状态很容易就能知道，那么状态转移方程如何求呢？对于一件物品，我们有放进或者不放进背包两种选择：

  （1）假如我们放进背包，f[i][j] = f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，这里的f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]应该这么理解：在没放这件物品之前的状态值加上要放进去这件物品的价值。而对于f[i - 1][j - weight[i]]这部分，i - 1很容易理解，关键是 j - weight[i]这里，我们要明白：要把这件物品放进背包，就得在背包里面预留这一部分空间。

  （2）假如我们不放进背包，f[i][j] = f[i - 1][j]，这个很容易理解。

    因此，我们的状态转移方程就是：f[i][j] = max(f[i][j] = f[i - 1][j] , f[i - 1][j - weight[i]] + value[i])  

    当然，还有一种特殊的情况，就是背包放不下当前这一件物品，这种情况下f[i][j] = f[i - 1][j]。