FFT算法的实现（1）

本文章参考：http://tieba.baidu.com/p/2513502552
那一天，作者终于想起了他CSDN的密码，填坑完毕：）

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由于需要在Arduino上进行声音处理，需要用到FFT变换，查找了相关库过后发现FFT的库比较少，而且版本比较老了，挑编译器，也因为种种个人原因，索性自己来实现一个FFT变换。
FFT（快速傅里叶变换）变换本质就是DFT（离散傅里叶变换），但是对DFT进行了优化，减少了计算量并能够比较方便地用程序实现。这里是在Arduino平台上实现了一个基2的FFT算法，大致需要如下预备知识：

• 傅里叶变换的概念
• 复数的概念
• 欧拉公式

因为是用程序实现数学算法，要完全理解程序，肯定是会涉及到公式推导，但是这里的推导很简单，大概需要高中的数学知识即可。首先上DFT的公式，下面将由这个公式一步步推出FFT的算法。

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X[k]=∑n=0N−1x[n]e−i2πkNn X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − i 2 π k N n

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学过傅里叶变换的话应该比较熟悉这个公式，它其实就是针对离散的采样点 x[n] x [ n ] 的傅里叶变换，其意义还是将信号从时域转换到频域。那么这里的 X[k] X [ k ] 表示的就是频域信号了，下标k表示信号的频率， X[k] X [ k ] 的值就是该频率信号的幅值。这里可以看到，当k固定的时候，对应于频率为k的信号幅值是与 x[n] x [ n ] 有关的一个级数的和，因此每一个频域的点实际上包含了所有时域点的信息。

有两点需要注意，一是因为 x[n] x [ n ] 的长度为 N N ，因此 DFT D F T 后的频域信号 X[k] X [ k ] 的长度也是 N N ；二是为了进行FFT变换， N N 的取值一般是2的整数次幂。

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将下标n分解为奇偶两部分，然后分别求和

X[k]=∑r=0N2−1x[2r]e−i2πkN2r+∑r=0N2−1x[2r+1]e−i2πkN(2r+1) X [ k ] = ∑ r = 0 N 2 − 1 x [ 2 r ] e − i 2 π k N 2 r + ∑ r = 0 N 2 − 1 x [ 2 r + 1 ] e − i 2 π k N ( 2 r + 1 )

这里进行一次代换，用 x0[n] x 0 [ n ] 表示 x[n] x [ n ] 中的偶数项，用 x1[n] x 1 [ n ] 表示 x[n] x [ n ] 中的奇数项

X[k]=∑n=0N2−1x0[n]e−i2πkN/2n+∑n=0N2−1x1[n]e−i2πkN/2n−i2πkN X [ k ] = ∑ n = 0 N 2 − 1 x 0 [ n ] e − i 2 π k N / 2 n + ∑ n = 0 N 2 − 1 x 1 [ n ] e − i 2 π k N / 2 n − i 2 π k N

第二项求和中， e−i2πNk e − i 2 π N k 与 n n 无关，因此可以单独提出

X[k]=∑n=0N2−1x0[n]e−i2πkN/2n对x0[n]进行DFT+e−i2πNk∑n=0N2−1x1[n]e−i2πkN/2n对x1[n]进行DFT X [ k ] = ∑ n = 0 N 2 − 1 x 0 [ n ] e − i 2 π k N / 2 n ⏟ 对 x 0 [ n ] 进 行 D F T + e − i 2 π N k ∑ n = 0 N 2 − 1 x 1 [ n ] e − i 2 π k N / 2 n ⏟ 对 x 1 [ n ] 进 行 D F T

X[k]=DFT(x0)+e−i2πNkDFT(x1) X [ k ] = D F T ( x 0 ) + e − i 2 π N k D F T ( x 1 )

利用欧拉公式，将： e−i2πNk=cos2πkN−isin2πkN e − i 2 π N k = cos ⁡ 2 π k N − i sin ⁡ 2 π k N 代入：

X[k]=DFT(x0)+(cos2πkN−isin2πkN)DFT(x1) X [ k ] = D F T ( x 0 ) + ( cos ⁡ 2 π k N − i sin ⁡ 2 π k N ) D F T ( x 1 )

设： X0[k]=DFT(x0)，X1[k]=DFT(x1) X 0 [ k ] = D F T ( x 0 ) ， X 1 [ k ] = D F T ( x 1 )

X[k]=X0[k]+(cos2πkN−isin2πkN)X1[k] X [ k ] = X 0 [ k ] + ( cos ⁡ 2 π k N − i sin ⁡ 2 π k N ) X 1 [ k ]

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因为这里 x0[n] x 0 [ n ] 和 x1[n] x 1 [ n ] 分别是 x[n] x [ n ] 的偶数项和奇数项，因此它们的长度都是 N2 N 2 ，所以 X0[k] X 0 [ k ] 和 X1[k] X 1 [ k ] 的长度也是 N2 N 2 ，而 X[k] X [ k ] 是 X0[k] X 0 [ k ] 和 X1[k] X 1 [ k ] 的线性组合，因此其长度也是 N2 N 2 。

前面已经提到，原式的变换中 X[k] X [ k ] 的长度为 N N ，经过一轮变换之后其长度变为了 N2 N 2 ，那岂不是意味着丢失了一半的频率信息吗？这肯定是不允许的，下面就利用 DFT D F T 的对称性找回这一半丢失的信息。

在此之前先引入旋转因子的概念：

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旋转因子表示为：

WN=e−i2πN=cos2πN−isin2πN W N = e − i 2 π N = cos ⁡ 2 π N − i sin ⁡ 2 π N

旋转因子的对称性：

Wk+N2N=e−i2πN(k+N2)=e−i2πN∗e−iπ=−e−i2πN=−WkN W N k + N 2 = e − i 2 π N ( k + N 2 ) = e − i 2 π N ∗ e − i π = − e − i 2 π N = − W N k

使用旋转因子表达将更简洁：

X[k]=X0[k]+WkNX1[k] X [ k ] = X 0 [ k ] + W N k X 1 [ k ]

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上面已经说到， X0[k] X 0 [ k ] 和 X1[k] X 1 [ k ] 的长度为 N2 N 2 ，那么超出 N2 N 2 的部分会出现什么情况呢？事实上超出的部分将会呈周期性变化，即： X0[k+N2]=X0[k] X 0 [ k + N 2 ] = X 0 [ k ] ，这一点将 k+N2 k + N 2 代入 X0[k] X 0 [ k ] 的表达式即可证明，这里就省去了。知道这一点后，我们用在上式中用 k+N2 k + N 2 代替 k k ：

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X[k+N2]=X0[k+N2]+Wk+N2NX1[k+N2]=X0[k]−WkNX1[k] X [ k + N 2 ] = X 0 [ k + N 2 ] + W N k + N 2 X 1 [ k + N 2 ] = X 0 [ k ] − W N k X 1 [ k ]

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至此已经得出了整个频域上的表达式：

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X[k]=X0[k]+WkNX1[k] X [ k ] = X 0 [ k ] + W N k X 1 [ k ]

X[k+N2]=X0[k]−WkNX1[k] X [ k + N 2 ] = X 0 [ k ] − W N k X 1 [ k ]

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写了这么多公式，还没有讲到FFT，其实算到这里，已经完成了FFT的关键部分了。

下一篇中将完成算法的具体实现。