【Luogu4191】[CTSC2010] 性能优化
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题意简述
求循环卷积意义下的 A ( x ) ∗ B ( x ) C A(x)*B(x)^C A(x)∗B(x)C。
模数为 n+1 ，长度为 n。
Sol
板子题。
循环卷积可直接把点值快速幂来解决。
所以问题就是要快速 D F T DFT DFT，由于长度是 n 不一定是NTT模数，我们要解决任意长度的 D F T DFT DFT
这道题保证了 n n n 质因数分解之后的质因子最大不超过 10 。
我们可以模仿朴素 F F T FFT FFT 对点值分组分别计算然后合并的方法。
每次分成 p p p 组然后合并点值即可。根据如下式子:
F ( x ) = ∑ a i x i F(x)=\sum a_ix^i F(x)=∑aixi ， F r ( x ) = ∑ a i p + r x i F_r(x)=\sum a_{ip+r}x^i Fr(x)=∑aip+rxi
F ( x ) = ∑ x r F r ( x p ) F(x)=\sum x^rF_r(x^p) F(x)=∑xrFr(xp)
F ( w n a n + b ) = ∑ r = 0 w n p ( a n + b ) r F r ( w n b ) F(w_n^{an+b})=\sum_{r=0} w_{np}^{(an+b)r}F_r(w_n^b) F(wnan+b)=r=0∑wnp(an+b)rFr(wnb)
写的时候可以类似的用 dfs 预处理出每一个数最后到达的位置
code:
#include本题还有一种常数巨大的完全过不了的算法。(用上合并DFT的科技说不定能过)
还是快速求解任意长度 D F T DFT DFT。
有一种叫做 B l u e s t e i n ’ s A l g o r i t h m Bluestein’s\; Algorithm Bluestein’sAlgorithm 的算法。
考虑我们要求解:
A ( w n k ) = ∑ i = 0 n − 1 a i w n k i A(w_n^k)=\sum_{i=0}^{n-1}a_iw_n^{ki} A(wnk)=∑i=0n−1aiwnki
把 k i ki ki 以一种能够构成卷积的方式代换，为了防止出现单位根不存在二次剩余的情况这里选择用组合数替换: k i = ( k + i 2 ) − ( k 2 ) − ( i 2 ) ki={k+i\choose 2}-{k\choose 2}-{i\choose 2} ki=(2k+i)−(2k)−(2i)
所以要求的就是:
A ( w n k ) = ∑ i = 0 n − 1 a i w n ( k + i 2 ) − ( k 2 ) − ( i 2 ) A(w_n^k)=\sum_{i=0}^{n-1}a_iw_n^{{k+i\choose 2}-{k\choose 2}-{i\choose 2}} A(wnk)=∑i=0n−1aiwn(2k+i)−(2k)−(2i)
A ( w n k ) = w n − ( k 2 ) ∑ i = 0 n − 1 a i w n ( k + i 2 ) − ( i 2 ) A(w_n^k)=w_n^{-{k\choose 2}} \sum_{i=0}^{n-1}a_iw_n^{{k+i\choose 2}-{i\choose 2}} A(wnk)=wn−(2k)∑i=0n−1aiwn(2k+i)−(2i)
A ( w n k ) = w n − ( k 2 ) ∑ i = 0 n − 1 a i w n − ( i 2 ) w n ( k + i 2 ) A(w_n^k)=w_n^{-{k\choose 2}} \sum_{i=0}^{n-1}a_iw_n^{-{i\choose 2}} w_n^{{k+i\choose 2}} A(wnk)=wn−(2k)∑i=0n−1aiwn−(2i)wn(2k+i)
后面那个东西翻转一下就是一个卷积的形式了，所以我们可以用 F F T FFT FFT 等多项式卷积算法来计算任意长度 D F T DFT DFT !
但是这道题里显然不能朴素 N T T NTT NTT，因为模数并不是 N T T NTT NTT 模数。
如果用 F F T FFT FFT 代替，存在精度误差过不了，那么只能 M T T MTT MTT。
这样一算下来，我们总共需要 D F T DFT DFT三次。( I D F T IDFT IDFT 和 D F T DFT DFT没有区别)
每次 D F T DFT DFT 里我们要用上一个 M T T MTT MTT ，而 M T T MTT MTT每次要做 7 7 7 次 D F T DFT DFT。
也就是说我们总共做了 3 ∗ 7 = 21 3*7=21 3∗7=21 次 D F T DFT DFT 。
也就是说 复杂度 O ( n l o g 2 n ) O(nlog^2n) O(nlog2n)…这个东西比直接倍增算还慢吧…
(哪位大佬有更加优秀的非合并 D F T DFT DFT 的做法来教教我啊)
80’code:
#include